Ensino Superior ⇒ Integral Tripla

[danjr5]

p) Calcule [tex3]\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{B}^{}2zdxdydz[/tex3] onde [tex3]B[/tex3] é o conjunto [tex3]4x^2 + 9y^2 + z^2 \leq 4[/tex3], [tex3]z \leq 0[/tex3].

Gostaria de saber se peguei os intervalos certos!
[tex3]0 \leq z \leq 2[/tex3]

[tex3]0 \leq r \leq 1[/tex3]

[tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3]

Encontrei [tex3]\frac{4\pi}{3}[/tex3] e não tenho a resposta.

Desde já agradeço!

[Natan]

Não está muito claro o que vc fez mais tentarei ajudar..., vc usou coordenadas cilíndricas? se foi note que com o intervalo escolhido para z estamos indo do plano [tex3]z=0[/tex3] ao plano [tex3]z=2[/tex3] enquando deveríamos ir do plano [tex3]z=0[/tex3] a calota inferior do elipsóide.

[miguel747]

Eu fiz e deu [tex3]26\pi/18[/tex3].

Seguinte:

utiliza a forma da elipsoide:

[tex3]4x^2 + 9y^2 + z^2 \leq 4\\
x^2/1^2 + y^2/(2/3)^2+z^2/2^2\leq1[/tex3]

Dai utiliza a seguinte transformação em coordenadas cilíndricas na elipse temos:

[tex3]x = cos\phi\\
y = \frac{2}{3}sen\phi[/tex3]

Dai utilizamos o seguinte:

[tex3]0\leq \phi\leq 2\pi\\
0\leq r \leq \underbrace{\sqrt{cos^2\phi + \frac{4}{9}sen^2\phi}}_{\text{valor maximo do raio}}\\
\\
-2\leq z\leq 0[/tex3]

Ai fica assim a integral tripla:

[tex3]\int_{0}^{-2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{cos^2\phi + \frac{4}{9}sen^2\phi}}2z\underbrace{rdrd\phi dz}_{dxdydz}=\\
\\
=\int_{0}^{-2}\cancel{2}zdz\int_{0}^{2\pi}\frac{\overbrace{cos^2\phi + \frac{4}{9}sen^2\phi}^{r^2}}{\cancel{2}}\,d\phi=\\
\\
=\int_{0}^{-2}\frac{13\pi}{9}z\,dz = \frac{13\pi}{9}z^2/2|_0^{-2} = \boxed{26\pi/9}[/tex3]

Abs,