Ensino Médio ⇒ Logaritmos - Fundamentos da Matemática Elementar Tópico resolvido

[jrneliodias]

Estou com um dúvida nessa equação, poderiam me ajudar?

[tex3]log_2x+log_3x+log_4x=1[/tex3]

[roberto]

Passe tudo para base 10: 2log(x)/2log2 + log(x)/log 3 +log(x)/2 log2 = 1
3log(x)/2log(2) + log(x)/log(3) = 1
soma das frações: 3log(3)log(x) + 2log(2)log(x) = 2log(2)log(3)
coloca-se log(x) em evidência: log(x) [ 3log(3) + 2log(2)] = 2log(2)log(3)
isola-se log(x): Log(x) = 2*log(2)*log(3)/3log(3) + 2log(2)
log(x) = 2log(2)log(3)/log(27)+log(4) (usei o fato de que 3log3= log27)
( lembrando que: soma de logs é log do produto: " 27 x 4 = 108" ) : Temos: log(x) = 2log(2)*log(3)/log(108)

log(x) = log(2)*[log(9)/log(108)] (O 2 que tava multiplicando o log(2)*log(3) passa a ser expoente do (3))
Por fim, pegamos (log(9)/log(108)) e transformamos em logaritmo de 9 na base 108
Daí concluímos que: x = 2 ^ (log(9)/log(108) = 2^(log108 (9))

Deu pra entender?

[jrneliodias]

Cara, achei muito interessante sua resolução. principalmente o final que você usa [tex3]logx=log2.log_{108}9\rightarrow x=10^{log2.log_{108}9}\rightarrow x=2^{log_{108}9}[/tex3]

Eu fiz de um jeito diferente, usando a base dois

Estou me batendo com esse sistema, pode tentar resolver?
[tex3]log_2(x+y)-log_3(x-y) = 1[/tex3]
[tex3]x^2-y^2=2[/tex3]

Obrigado, abraço

[roberto]

A segunda equação do seu sistema é um produto notável! ( diferença de dois quadrados)
(x+y).(x-y) =[tex3]x^{2} - y^{2}[/tex3].
Minha pergunta é:
Os logaritmandos são estes mesmos? Ambos (x+y) ?

[jrneliodias]

Não! Eu errei hihi um é x+y e outro é x-y

[roberto]

Não! Eu errei hihi um é x+y e outro é x-y

Olá! Abra um novo tópico com ela!!!

[roberto]

Não! Eu errei hihi um é x+y e outro é x-y

Estou com um dúvida nessa equação, poderiam me ajudar?

[tex3]log_2x+log_3x+log_4x=1[/tex3]

Então aqui vai a solução:[tex3]\log_2 (x+y)-\log_3 (x-y)=1[/tex3] eq.I)
(x+y).(x-y)=2 eq.II
Pra acelerar vou chamar (x+y) de A e (x-y) de B

[tex3]\log_2A=1+log_3B = log_33+log_3B=log_33B[/tex3] Então o novo sistema fica: [tex3]\log_2A=\log_33B[/tex3] equação I')
A.B= 2 ou B=2/A equação II')
Substituindo II' em I': [tex3]\log_2A=\log_3(6/A)[/tex3]=> [tex3]\log_2A=\log_36-\log_3A[/tex3] Passando tudo pra base 2:
[tex3]\log_2A=\frac{\log_26}{\log_23}-\frac{\log_2A}{\log_23}[/tex3]=> [tex3]\log_2A=\frac{\log_26-\log_2A}{\log_23}[/tex3] =>
[tex3]\log_2A.\log_23-\log_26+\log_2A=0[/tex3] => [tex3]\log_2A . (1+\log_23)=\log_26[/tex3]
[tex3]\log_2A.(\log_22+\log_23)=\log_26[/tex3] => [tex3]\log_2A.\log_26=\log_26[/tex3] <=> [tex3]\log_2A=1[/tex3]
Se [tex3]\log_2A=1[/tex3] então A=(x+y)= 1 ->equação III)
Agora é só resolver o sistema inicial com essa eq. III.
Respostas x=3/2 e y= 1/2
Se não entender pergunte!