Olimpíadas ⇒ Número Inteiro Positivo Tópico resolvido

[rean]

Se [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são tres números inteiro positivo, tais que [tex3]abc + ab + ac + bc + a + b + c = 100[/tex3]
calcule a soma de [tex3]a + b + c[/tex3]

Resposta

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Resp.28

[FilipeCaceres]

Olá rean,

Muito chata, essa questão é daquelas que você só resolve se estiver muito inspirado ou ter visto alguma vez o seguinte.
[tex3](a+1)(b+1)(c+1) = a+d+c+ab+bc+ca+abc+1[/tex3]

Ou seja, basta somar [tex3]1[/tex3] nos dois lados da expressão dada para chegar neste resultando, assim temos
[tex3](a+1)(b+1)(c+1) = 1001[/tex3]

Fatorando,
[tex3]1001=7\cdot 11\cdot 13[/tex3]

Como queremos a soma de [tex3]a,b,c[/tex3] não nos importa os valores de cada um, podemos pegar por exemplo:
[tex3]a+1=7[/tex3]
[tex3]b+1=11[/tex3]
[tex3]c+1=13[/tex3]

Logo, [tex3](a,b,c)=(8,12,14)[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{a+b+c=28}[/tex3]

Abraço.

[Diegooo]

Olá FilipeCaceres;

Não entendi bem o exercício, e ele esta intrigante às minhas idéias!

Observe que a, b e c são inteiros positivos, logo devemos ter a> 0, b>0 e c>0. Então note que nenhum deles pode ser 0.
Acontece que pelas condições apresentada não há solução para a equação exibida no exercício.

Poderia me explicar detalhadamente esta questão?

Abraço!

[maks7]

Faz todo sentido sua dúvida Diegoo...


Se (a,b,c) = (8,12,14) entao, a primeira equaçao nos daria:

8x12x14 + 8x12 + 12x14 + 8 + 12 + 14 > 100. No entanto, acredito ser um erro de digitaçao do autor ( que quis escrever 1000 no lugar de 100) . Se for diferente de 1000, por exemplo 100, entao, 101 por ser primo, diria que em N, essa equacao nao teria solucao.