Ensino Médio ⇒ Números Complexos: Forma Algébrica

[brain_tnt]

Se [tex3]n[/tex3] é um número inteiro, tal que [tex3](a+i)^n=i(1-i)^n,[/tex3] então:

a) [tex3]n=6k, \text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]
b) [tex3]n=2k, \text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]
c) [tex3]n=2k+1, \text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]
d) [tex3]n=5k, \text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]
e) [tex3]n=4k+1,\text{ } k \in \mathbb{Z}[/tex3]

Solução:

---

• [tex3](a+i)^n=i(1-i)^n\Longrightarrow \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=i[/tex3]

Como

• [tex3]\frac{1+i}{1-i}=\frac{1+i}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2-i^2} =\frac{1+2i+i^2}{2}=i,[/tex3]

Temos

• [tex3]i^n=i.[/tex3]

Sabendo que as potências de [tex3]i[/tex3] se repetem de [tex3]4[/tex3] em [tex3]4,[/tex3] segue que a igualdade se verifica para todo [tex3]n=4k+1,\text{ }k\in\mathbb{Z}.[/tex3]

[AnthonyC]

Já resolvido. No entanto, no enunciado e na resolução, no lugar de [tex3]a[/tex3] é [tex3]1[/tex3].