IME/ITA ⇒ (Saraeva) Sistema Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Duas cargas com massa [tex3]m_1[/tex3] e [tex3]m_2[/tex3] estão ligadas através de uma corda que passa por uma roldana. Os planos, nos quais se encontram as cargas, formam com plano horizontal ângulos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3]. A carga da direita

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encontra-se em nível inferior à carga da esquerda em uma grandeza igual a [tex3]h[/tex3] metros. Decorridos [tex3]\tau[/tex3] segundos, depois de iniciado o movimento, ambas as cargas encontram-se à mesma altura. Os coeficientes de fricção entre as cargas e os planos são iguais a [tex3]k[/tex3]. Determine a relação entre as massas das cargas.

[theblackmamba]

De acordo com a Lei de Newton:

[tex3]R=P_{x1}-P_{x2}-F_{a1}-F_{a2}[/tex3]
[tex3](m_1+m_2)\cdot a=m_1 g \sen \alpha-m_2 g \sen \beta-km_1gcos\alpha-km_2g \cos \beta[/tex3]
[tex3]a=\frac{m_1 g \sen \alpha-m_2 g \sen \beta-km_1gcos\alpha-km_2g \cos \beta}{m_1+m_2} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)[/tex3]

As cargas voltam ao mesmo nível deslizando o plano e percorrendo um espaço S, tal que:
[tex3]S=\frac{a \tau ^2}{2} \,\,\,\,\,\,\,(2)[/tex3]

Nível após o deslocamento:
[tex3]S\cdot \sen \alpha=h-S\cdot \sen \beta[/tex3]
[tex3]S=\frac{h}{\sen \alpha+\sen \beta} \,\,\,\,\,\,\,\,(3)[/tex3]

Fazendo [tex3](1),(3)[/tex3] em [tex3](2)[/tex3]:
[tex3]\frac{h}{\sen \alpha+\sen \beta}=\frac{\tau ^2}{2} \cdot \(\frac{m_1 g \sen \alpha-m_2 g \sen \beta-km_1gcos\alpha-km_2g \cos \beta}{m_1+m_2}\)[/tex3]

[tex3]2hm_1 + 2hm_2 = g\tau ^2m_1(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \alpha-kcos\alpha)-g\tau^2 m_2(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \beta+kcos\beta)[/tex3]

[tex3]m_1\cdot [2h - g\tau ^2(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \alpha-kcos\alpha)]=-m_2\cdot [2h+g\tau^2(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \beta+kcos\beta)][/tex3]

Multiplicando por [tex3](-1)[/tex3] em ambos lados:

[tex3]\boxed{\frac{m_1}{m_2}=\frac{g\tau^2(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \beta+kcos\beta)+2h}{g\tau ^2(\sen \alpha+\sen \beta)(\sen \alpha-kcos\alpha)-2h}}[/tex3]