IME / ITA ⇒ ( ITA - 2002 ) Geometria Plana Tópico resolvido

[Leandro]

Eu não soube resolver e fui ver a resolução. Também não entendi a resolução, porque nela se considera um lado do triângulo como sendo o diâmetro, e se considera um de seus ângulos como sendo reto, como se o triângulo fosse inscrito a uma semi-circunferência, mas isso é uma circunferência completa. Gostaria muito que alguém me explicasse isso.

O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo [tex3]\frac{20}{\pi}[/tex3] cm, cujo ângulo oposto é de 15º. O comprimento da circunferência, em cm, é
A) [tex3]20\sqrt{2}(1+\sqrt{3})[/tex3]
B) [tex3]400(2+\sqrt{3})[/tex3]
C) [tex3]80(1+\sqrt{3})[/tex3]
D) [tex3]10(2\sqrt{3}+5)[/tex3]
E)[tex3]20(1+\sqrt{3})[/tex3]

Resposta

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Gabarito: A

Eis a imagem montada da questão e o que eu não entendo a respeito da resolução:

circunferência.JPG (5.95 KiB) Exibido 10208 vezes

E aí, na resolução, se aplica a lei dos senos:
[tex3]\frac{\frac{\pi}{20}}{sen15^o} = 2R[/tex3], indicando que o lado de baixo do triângulo da figura equivale ao diâmetro da circunferência, e que o triângulo é retângulo, pois [tex3]2R = \frac{2R}{sen90^0}[/tex3], de acordo com a lei dos senos.
Agradeço muito a quem me responder.

[theblackmamba]

Olá Leandro,
Sendo 15º o ângulo inscrito temos que o ângulo central vale 30º. Trace as duas linhas sendo os raios da circunferência que partem dos extremos deste lado [tex3]\frac{20}{\pi}[/tex3] e se encontram, formando o ângulo central.


Aplicando a Lei dos Cossenos, sendo R o raio da circunferência:
[tex3]\left(\frac{20}{\pi}\right)^2=R^2+R^2 -2\cdot R \cdot R \cdot cos(30^{\circ})[/tex3]
[tex3]\left(\frac{20}{\pi}\right)^2=2R^2-R^2 \sqrt{3}[/tex3]
[tex3]R^2=\left(\frac{20}{\pi}\right)^2 \cdot \frac{1}{2-\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]R^2=\left(\frac{20}{\pi}\right)^2\cdot (2+\sqrt{3})[/tex3]
[tex3]R=\frac{20}{\pi}\cdot \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)[/tex3] [tex3]^{**}[/tex3]
[tex3]\boxed{R=\frac{10\sqrt{2}\cdot (1+\sqrt{3})}{\pi}}[/tex3]

[tex3]C=2\pi R[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{C=20\sqrt{2}\cdot (1+\sqrt{3})}}[/tex3] Letra A.

[tex3]**[/tex3] Radical duplo:

[tex3]\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex3], sendo [tex3]C=\sqrt{A^2-B}[/tex3]

No caso,

[tex3]C=\sqrt{2^2-3}=1[/tex3]

[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt{\frac{2-1}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2}[/tex3]

O Teorema dos senos igualando a "2R" é válido para qualquer triângulo inscrito.
Você pode usar ele sabendo o valor do seno de 15º utilizando as fórmulas de Prostaferese:
[tex3]\sen(a-b)=\sen a\cdot \cos b - \sen b \cdot \cos a\Rightarrow \sen15^{\circ}=\sen(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]. A partir daí dá para achar o valor do raio.
De acordo com os dados não é possível afirmar que BC é diâmetro.

Abraço!

[roberto]

Você está fazendo confusão! Saiba o seguinte: Todo triâng. é circunscritível e inscritível a uma circunferência! E a lei dos senos diz o seguinte: "Em qualquer triâng. cada lado está para o seno do âng. oposto. E essas razões medem 2R" Onde 2R é o diâmetro da circunf. circunscrita ao referido triângulo!
Então para resolver a questão, primeiro calcula-se o valor de sen15º, depois joga-se este valor na "lei dos senos" e encontramos o valor de R, e com o raio encontramos o valor do comprim. da circunf.

OBs: O lado BC não é diâmetro! E o triâng. ABC não é retângulo!

Entendeu?

[roberto]

sen15º=[tex3]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Agora a lei dos senos: o lado AB está para o sen 15º, na razão 2R:
[tex3]\frac{\frac{20}{\pi}}{\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}[/tex3]=2R =>
R=10.[tex3]\frac{{(\sqrt{6}+\sqrt2)}}{\pi}[/tex3]
E o comprimento da circunf. é 2 [tex3]\pi[/tex3] R

[Leandro]

Muitíssimo obrigado a vocês dois, mamba e roberto! Compreendi a questão completamente e ainda fiquei sabendo desse novo uso muito interessante da lei dos senos. Eu realmente tava viajando antes, haha! Um abraço pra ambos.