Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 1997) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Qual o maior coeficiente do polinômio de grau [tex3]4[/tex3], com coeficiente líder igual a [tex3]1[/tex3], que tem [tex3]\sqrt2+\sqrt3[/tex3] como raiz?

[FilipeCaceres]

Olá Aldrin,

Se [tex3]\sqrt2+\sqrt3[/tex3] é raíz, então [tex3]\sqrt2-\sqrt3[/tex3] também é.

Mas veja que podemos escrever de uma forma diferente,

Se [tex3]\sqrt3+\sqrt2[/tex3] é raíz, então [tex3]\sqrt3-\sqrt2[/tex3] também é.

Analogamente,
Se [tex3]-\sqrt3+\sqrt2[/tex3] é raíz, então [tex3]-\sqrt3-\sqrt2[/tex3] também é.

Desta forma o conjunto de raízes é [tex3]\left\{\sqrt2+\sqrt3,\,\,\sqrt2-\sqrt3,\,\,-\sqrt2+\sqrt3,\,\,-\sqrt2-\sqrt3\right\}[/tex3]

Que pode ser reescrito,
[tex3]f(x)=k\(x-\(\sqrt2+\sqrt3\)\)\(x-\(\sqrt2-\sqrt3\)\)\(x-\(-\sqrt2+\sqrt3\)\)\(x-\(-\sqrt2-\sqrt3\)\)[/tex3]

Mas o enunciado diz que o coeficiente líder igual a [tex3]1[/tex3], ou seja, [tex3]k=1[/tex3]

Arrumando para ficar mais fácil de multiplicar
[tex3]f(x)=\(x-\(\sqrt2+\sqrt3\)\)\(x-\(-\sqrt2-\sqrt3\)\)\(x-\(\sqrt2-\sqrt3\)\)\(x-\(-\sqrt2+\sqrt3\)\)[/tex3]
[tex3]f(x)=\(x^2-\(\sqrt2+\sqrt3\)^2\)\(x^2-\(\sqrt2-\sqrt3\)^2\)[/tex3]

Fazendo o produto (fica como exercício),
[tex3]f(x)=x^2-10x^2+1[/tex3]

Portanto o valor do maior coeficiente vale [tex3]\boxed{1}[/tex3]

Abraço.