Pré-Vestibular ⇒ (UFAM) Matrizes Tópico resolvido

[marcoscl]

Para criptografar uma palavra de quatro letras um aluno de matemática a representou como uma matriz 4x1 substituindo cada letra da palavra por números conforme o quadro a seguir.

A→1 B→2 C→3 Ç→4 D→5 E→6 F→7 G→8 H→9 I→10 J→11 K→12 L→13 M→14 N→15 O→16 P→17 Q→18 R→19 S→20 T→21 U→22 V→23 W→24 X→25 Y→26 Z→27 Ã→28 Õ→29 É→30

Em seguida multiplicou essa matriz pela matriz A = [tex3]\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{21} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4}\end{array}\right)[/tex3] obtendo como resultado a matriz B = [tex3]\left(\begin{array}{cc} 1 \\ \\ 2 \\ \\ 3 \\ \\ 4 \end{array}\right)[/tex3]. Para descriptografar a palavra devese fazer o produto da matriz B pela matriz inversa de
A . Então a palavra originalmente era:

a) UFAM
b) MAÇÃ
c) HEXA
d) TUDO
e) AMOR



PD: Fazer TeX de matrizes é foda.

[emanuel9393MOD]

Olá, Marcos cl!

Devemos primeiramente encontrar a matriz inversa de [tex3]A[/tex3]:
[tex3]\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{21} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\frac{1}{4} \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{array}\right] \, = \, \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{21}a & \frac{1}{21}b & \frac{1}{21}c & \frac{1}{21}d \\ \frac{1}{11}e & \frac{1}{11}f & \frac{1}{11}g & \frac{1}{11}h \\ \frac{3}{5}i & \frac{3}{5}j & \frac{3}{5}k & \frac{3}{5}l \\ \frac{1}{4}m & \frac{1}{4}n & \frac{1}{4}o & \frac{1}{4}p \end{array}\right] \, = \, \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \\ \\ \\ \begin{cases} a \, = \, 21 \\ f \, = \, 11 \\ k \, = \, \frac{5}{3} \\ p \, = \, 4\end{cases}[/tex3]
Fora essas letras, as outras são nulas. A matriz inversa [tex3]A^{-1}[/tex3] é dada por:
[tex3]A^{-1} \, = \, \left[\begin{array}{cccc} 21 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right][/tex3]
Agora, só basta determinar o código [tex3]C[/tex3]:
[tex3]A^{-1} \cdot B \, = \, C \\ \\ \left[\begin{array}{cccc} 21 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right] \, = \, \left[\begin{array}{c} 21 \\ 22 \\ 5 \\ 16\end{array}\right][/tex3]
Logo, o código será [tex3]21 \, , \,\, 22 \, , \,\, 5 \,\, e \,\, 16[/tex3] que corresopnde a palavra [tex3]\boxed{\boxed{TUDO}}[/tex3]

Resposta = D

Um abraço!