Concursos Públicos ⇒ AFC-SFC-2000 Tópico resolvido

[Henrique_]

Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de elementos X é igual a:

a)10
b)20
c)35
d)45
e)90

[brain_tnt]

Iaí Henrrique...
Olha só:
Seja A={a,b}[tex3]\longrightarrow[/tex3] Subconjuntos(com 2 elementos) de --{a,b}
com 2 elementos: 2-1=1 subconjuntos com 2 elementos.

B={a,b,c}[tex3]\longrightarrow[/tex3] Subconjuntos(com 2 elementos) de B:
{ab}{ac}3-1=2
.......{bc}3-1=1 [tex3]\longrightarrow[/tex3] 2+1=3

C={a,b,c,d}[tex3]\longrightarrow[/tex3] Subconjuntos(com 2 elementos) de C:
{a,b}{a,c}{a,d} 4-1=3
.........{bc}{bd}4-2=2
.................{cd}4-3=1 [tex3]\longrightarrow[/tex3] 3+2+1=6

Algebricamente, temos:
n-1
n-2
n-3
.
.
.
n-k
A soma de todos esses termos= nº de subconjuntos com 2 elementos.
[tex3](n-1)+(n-2)+(n-3)+...(n-k)=45[/tex3]
[tex3]\text{Soma de P.A:}[/tex3]
[tex3]\frac{(a1+an)n}{2}[/tex3]
[tex3]\text{vai ser uma P.A com n-1 termos}[/tex3]
[tex3]\frac{(n-1+n-k).(n-1)}{2}=45[/tex3]
[tex3]\text{como } n-k=1[/tex3]
[tex3](n-1+1).(n-1)=90[/tex3]
[tex3]n^2-n-90=0[/tex3]
[tex3]\Delta =361[/tex3]
[tex3]n=\frac{-(-1)+19}{2}[/tex3]
[tex3]n=10[/tex3]
[tex3]\text{resposta }\Longrightarrow 10 \text{elementos}[/tex3]
Letra A

Se não der pra entender é só dizer..
e quem souber outra forma de resolução, disponha..
abraços ;)

[italoemanuell]

Olá a todos!!Tava meio sumido do forum,devido a muito trabalho,mas sempre que puder vou estar aqui ajudando vcs amigos!!

Outra resolução simples séria aplicando a fórmula de combinação simples,onde serão tomados x elementos dele tomados 2 a 2,ou seja:

[tex3]C_x^{2}=45[/tex3]=>[tex3]\frac{x!}{(x-2)!.2!}=45[/tex3]=>[tex3]x^2-x-90=0[/tex3]=>x=-9(não convém) ou x=10 (que é a resposta correta).

Tai espero ter ajudado!!

Abraços.....



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"A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)"