Pré-Vestibular ⇒ (UFPR - 2006) Geometria Plana Tópico resolvido

[fanavid]

Na figura a seguir, temos dois círculos de mesmo raio R, com centros em O e O’, tangentes entre si. Assinale a
alternativa que apresenta a distância d (em unidades de distância) entre as retas r e s paralelas, de modo que as duas
regiões hachuradas tenham a mesma área.

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a) [tex3]\frac{\pi R}{2}[/tex3]
b) [tex3]\pi R[/tex3]
c) [tex3]\frac{\pi R}{4}[/tex3]
d) [tex3]2\pi R[/tex3]
e) [tex3]3\pi R[/tex3]

Resposta

---

Gab.: c)

[Helx]

areas-ufrn.jpg (35.32 KiB) Exibido 3672 vezes

[tex3]A_1= area\ do\ paralelogramo\ OPRO'\ -\ 2(area\ do\ setor\ circular)\ - area\ do\ triangulo\ O'QR[/tex3]
[tex3]A_2= area\ do\ setor\ circular\ - area\ do\ triangulo\ O'QR[/tex3]

[tex3]A_1=A_2[/tex3]
[tex3]2Rx -2(\frac{\beta}{2}R^2) - area\ do\ triangulo\ O'QR = \frac{\alpha}{2}R^2 - area\ do\ triangulo\ O'QR[/tex3]
[tex3]2Rx -2(\frac{\beta}{2}R^2) = \frac{\alpha}{2}R^2[/tex3]
[tex3]2Rx -\beta R^2 = \frac{\alpha}{2}R^2[/tex3]
[tex3]2Rx = \frac{\alpha}{2}R^2+\beta R^2[/tex3]
[tex3]2Rx = R^2(\frac{\alpha}{2}+\beta )[/tex3]

Da figura, temos:

[tex3]\alpha +2\beta =\pi[/tex3]

Dividindo os dois lados por 2:

[tex3]\frac{\alpha}{2} +\beta =\frac{\pi}{2}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]2Rx = R^2(\frac{\pi}{2})[/tex3]
[tex3]2x = R(\frac{\pi}{2})[/tex3]
[tex3]x = \frac{\pi R}{4}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá galera,

Uma outra forma de resolver.

area_entre_circulos.png (9.31 KiB) Exibido 3667 vezes

Vamos pegar apenas a metade, assim temos
[tex3]A_1+A_2=\frac{\pi R^2}{4}[/tex3]

E também temos,
[tex3]A_1+A_2=R\cdot\underbrace{(R-x)}_{d}[/tex3]

Igualando,
[tex3]\frac{\pi R^2}{4}=R\cdot d[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{d=\frac{\pi R}{4}}[/tex3]. Letra C

Abraço.