IME / ITA ⇒ (ITA - 1987) Geometria Plana: Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[rean]

(ITA) O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p. Nesse triângulo, a altura relativa a hipotenusa é :

a) [tex3]p \sqrt {2}[/tex3]
b) [tex3](p+1)(\sqrt {3} - 1)[/tex3]
c) [tex3]p(\sqrt {2} - 1)[/tex3]
d) [tex3]4p(\sqrt {2} + 1)[/tex3]
e) [tex3]8p(\sqrt {2} + 4)[/tex3]

[John]

Seja [tex3]x[/tex3] a medida do comprimento dos catetos AB e AC do triângulo ABC: Então a hipotenusa BC tem medida [tex3]y[/tex3] dado por:

[tex3]y^{2} = x^{2} + x^{2} -> y = x\sqrt{2}[/tex3].

Como o triângulo é retâgulo isósceles, a altura [tex3]H[/tex3] relativa a hipotenusa BC é a altura do triângulo ABC de base BC, logo:

[tex3]H^{2} + \frac{(x\sqrt{2})^{2}}{(2)^{2}} = x^{2} -> H = \frac{x}{\sqrt{2}}[/tex3].

Como [tex3]2x + x\sqrt{2} = 2p -> x = (2 - \sqrt{2})p[/tex3]. Logo,

[tex3]H = \frac{x}{\sqrt{2}}= \frac{(2 - \sqrt{2})p}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2} - 1)p[/tex3].

Alternativa c).