Olimpíadas ⇒ (IMO - 1979) Soma de Frações Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] números inteiros positivos tal que:

[tex3]\frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}[/tex3].

Prove que [tex3]m[/tex3] é divisível por 1979.

[FilipeCaceres]

Olá theblackmamba,

Vou usar o método que já mostrei várias vezes no fórum.

[tex3]\frac{m}{n}= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} - (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{659})[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}= \frac{1}{660} + \frac{1}{661} + \cdots + \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}[/tex3]

Usando a técnica de Gauss,
[tex3]\frac{m}{n}= (\frac{1}{660} + \frac{1}{1319}) + (\frac{1}{661} + \frac{1}{1318}) + \cdots + (\frac{1}{989} + \frac{1}{990})[/tex3]
[tex3]\frac{m}{n}=\frac{1979}{660\cdot 1319}+\frac{1979}{661\cdot 1320}+\cdots +\frac{1979}{989\cdot 990}[/tex3]

Como [tex3]1979[/tex3] é primo e no denominador não tem nenhum múltiplo de 1979, temos que [tex3]m[/tex3] é divisível por [tex3]1979[/tex3].

Abraço.