IME / ITA ⇒ ( ITA - 1974 ) Geometria Espacial

[Leandro]

Seja c um quarto de circunferência AB de raio R e centro O, e seja t a reta tangente a c em A. Traça-se pelo centro O de c uma reta que corta c num ponto M, e corta a reta tangente num ponto N, distintos de A. Se k a razão entre o volume gerado pelo setor OAM e o volume gerado pelo triângulo OAN, ambos obtidos girando-se de [tex3]2\pi[/tex3] em torno de AO. O comprimento do segmento AN é igual ao raio R se:

1 quarto de O.JPG (6.73 KiB) Exibido 1799 vezes

a) 1 < k < 2,5
b) 2,5 ≤ k ≤ 3
c) 0 < k ≤ 2
d) 0 < k < 1,5
e) nda

Desculpem, mas não tenho o bagarito.

[manerinhu]

imagem.png (6.27 KiB) Exibido 1788 vezes

giro ON em AO-> cone com base R e altura R
[tex3]V=\frac{\pi R^3}{3}[/tex3]
giro OM em Ao-> um quarto de esfera (se nao for, o que gerará?)
[tex3]V=\frac{4\pi R^3}{4*3} => V=\frac{\pi R^3}{3}[/tex3]
razão [tex3]k = 1[/tex3]
não temos resposta?

OBS: usei essa analogia pra supor que vai gerar um quarto de esfera

imagem2.png (11.33 KiB) Exibido 1788 vezes

[Leandro]

Muito obrigado pela resposta, manerinhu!

Mas eu não entendi algumas coisas :
Primeira - no desenho que tu fizeste da situação do problema, não houve perda de generalidade ao supor que o segmento BN tangencia a circunferência em cima?
Segunda - acredito que o giro de OMA gere um cone com uma calota mais do que 1/4 de esfera.

E não, infelizmente não tenho o gabarito. A prova é bem antiga, não consigo encontrar.

[manerinhu]

sobre a figura, nao sei se há outra forma de desenhá-la
talvez gere um cone com uma calota, mas vai dar muuuito trabalho calcular
mas porque esse cone com uma calota nao pode ser exatamente igual a um quarto de esfera?

[Leandro]

Porque duas coisas, quando são diferentes, não podem ser iguais, eu acho...

1 quarto de esfera + cone calota.JPG (9.19 KiB) Exibido 1760 vezes

[manerinhu]

mas não será que, para todo angulo [tex3]\alpha < 180[/tex3] de um setor circular, quando rotacionado para um dos lados do raio, nao vai gerar uma esfera (ou pedaço de uma) com angulo [tex3]2\alpha[/tex3]?
estou certo ou errado?
e porque?

[Leandro]

Cara, desculpa, mas eu acho que tu tá errado...
De longe só acho, porque não sou nenhum expert em geometria, mas pelo que vejo realmente se forma um cone com calota na base. Mas sim, percebo que o ângulo entre duas geratrizes opostas é 2 [tex3]\alpha[/tex3].
Agora, se tu estiver correto, gostaria muito que tivesses a paciência de explicar.

[Adielton]

Leandro, eu tenho esta questão aqui em um livro do Gelson Iezzi e o gabarito dela tá como letra ''e'' (n.d.r.a). Nao tenho a resolução, aí está a resposta...se te ajudar...