Demonstrações ⇒ Demonstração - Circunferência inscrita, ex-inscrita e circunscrita

[FilipeCaceres]

Circunferência inscrita

Seja [tex3]S[/tex3] a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] de lados [tex3]a,b,c[/tex3] e [tex3]r[/tex3] o raio da circunferência inscrita, temos que [tex3]S=p\cdot r[/tex3].

Onde [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3] (semi perímetro)

Demonstração:

circulo_inscrito.png (9.98 KiB) Exibido 17495 vezes

[tex3]S=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}=\frac{(a+b+c)\cdot r}{2}=p\cdot r[/tex3]
[tex3]\boxed{S=p\cdot r}[/tex3]

Quando o triângulo for retângulo o raio pode ser calculado da seguinte forma:

circulo_insscrito_raio.png (7.19 KiB) Exibido 17494 vezes

Da figura tiramos,
[tex3]a=(b-r)+(c-r)[/tex3]
[tex3]a=b+c-2r[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{b+c-a}{2}}[/tex3]

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Circunferência ex-inscrita

Seja [tex3]S[/tex3] a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] de lados [tex3]a,b,c[/tex3] e [tex3]r_a,r_b,r_c[/tex3] os raios ex-inscritos, então temos:
[tex3]S=(p-a)\cdot r_a[/tex3]
[tex3]S=(p-b)\cdot r_b[/tex3]
[tex3]S=(p-c)\cdot r_c[/tex3]

Demonstração:

circulo_ex-inscrito.png (14.71 KiB) Exibido 17495 vezes

[tex3]S=S_{ACE}+S_{ABE}-S_{BCE}=\frac{b\cdot r_a}{2}+\frac{c\cdot r_a}{2}-\frac{a\cdot r_a}{2}=\frac{(b+c-a)\cdot r_a}{2}[/tex3]

Mas
[tex3]a+b+c-2a=2p-2a[/tex3]
[tex3]b+c-a=2(p-a)[/tex3]

Logo,
[tex3]S=\frac{(b+c-a)\cdot r_a}{2}=\frac{2(p-a)\cdot r_a}{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=(p-a)\cdot r_a}[/tex3]

Analogamente temos,
[tex3]\boxed{S=(p-b)\cdot r_b}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=(p-c)\cdot r_c}[/tex3]

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Relação entre o circunferência inscrita e ex-inscrita.
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}[/tex3]

Demostração:
[tex3]\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{3p-(a+b+c)}{S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}[/tex3]

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Circunferência circunscrita

Seja [tex3]S[/tex3] a área do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] de lados [tex3]a,b,c[/tex3] e R o raio da circunferência circunscrita, então [tex3]S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}[/tex3]

Demonstração:

circulo_circunscrito.png (12.55 KiB) Exibido 17495 vezes

Da Lei nos Senos temos:
[tex3]\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R[/tex3]

Também temos,
[tex3]S=\frac{a\cdot b\cdot \sin \angle C}{2}=\frac{a\cdot b\cdot c}{2\cdot 2R}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}}[/tex3]