Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp - 2006) Trigonometria Tópico resolvido

[Pabloh7]

Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente [tex3]\sqrt{14}[/tex3] m. Enquanto Roberto subia oos degraus, a base da escada escorregou por 1m, tocando o muro paralelo à parede. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45º com a horizontal.

a) Qual é a distância entrea a parede da casa e o muro?
b) Qual é o comprimento da escada de Roberto?

Por favor me expliquem como chegar na resposta,

Resposta

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RESP.: a) 3m; b) 3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] m

[theblackmamba]

a)

escada.png (7.52 KiB) Exibido 22835 vezes

Inicialmente (escada em azul), ela está uma distância [tex3]d-1[/tex3] da parede. Depois (escada em laranja), ela está uma distância [tex3]d[/tex3] da parede e fazendo 45º com o chão. Daí temos um triângulo isósceles (BCD), logo a nova altura da escada em relação ao solo também vale [tex3]d[/tex3], portanto, o comprimento da escada (S) vale [tex3]d\sqrt{2}[/tex3] (Por Pitágoras no triângulo BCD).

Agora aplicando Pitágoras no triângulo ACE:

[tex3](d\sqrt{2})^2=(\sqrt{14})^2 + (d-1)^2[/tex3]
[tex3]2d^2=14+d^2-2d+1[/tex3]
[tex3]d^2+2d-15=0[/tex3]

[tex3]d=-5[/tex3] (não serve) e [tex3]\boxed{d=3\,m}[/tex3].

b)
[tex3]S=d\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\boxed{S=3\sqrt{2}\,\text{m}}[/tex3]