Ensino Superior ⇒ Integral: Volume de um Sólido de Revolução Tópico resolvido

[b4]

Achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióide [tex3]r=a(1+cos.fi)[/tex3] em torno do eixo polar.

[Karl Weierstrass]

Achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióide [tex3]r\,=\,a(1\,+\,\cos \phi)[/tex3] em torno do eixo polar.

[tex3]\hspace{70pt}V\,=\,\frac{2\pi}{3}\int_{\alpha}^{\beta}r^3\text{sen}\phi\, d\phi\,=\,\frac{2\pi a^3}{3}\int_{0}^{\pi}(1\,+\,\cos \phi)^3\text{sen}\phi \,d\phi[/tex3].

[tex3]\hspace{70pt}\int u^m\, du \,= \,\frac{u^m}{m \,+ \,1} \,+ \, C[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\left. u\,=\,1\,+\,\cos \phi\\du=-\text{sen}\phi\,d\phi\right\}\,\Longrightarrow\,\int (1\,+\,\cos \phi)^3\text{sen}\phi \,d\phi\,=\,-\int (1\,+\,\cos \phi)^3(\text{-\,sen}\phi) \,d\phi\,=\,-\,\frac{(1\,+\,\cos \phi)^4}{4}\,+\,C[/tex3].

[tex3]\hspace{70pt}V\,=\,-\,\frac{\pi a^3}{6} \left.(1\,+\,\cos \phi)^4\right|_0^{\pi}\,=\, -\,\frac{\pi a^3}{6} \{\[1\,+\,(-1)\]^4\,-\,(1\,+1\,)^4\}\,=\,\frac{8\pi a^3}{3}\,\text{u.v.}[/tex3]

Problema 1703 do livro Problemas e Exercícios de Análise Matemática. B. Demidovitch. Editora Mir.

Abraço.



[tex3]\,[/tex3]