Olimpíadas ⇒ (Litvinenko) Círculo Inscrito em um Triângulo Tópico resolvido

[theblackmamba]

Em um triângulo com lados medindo [tex3]16, 30 \,\,\text{e}\, \,34 \,cm[/tex3] está inscrita uma circunferência. Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos de tangencia.

Resposta

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O que fiz até agora:

Como [tex3]34^2=30^2+16^2[/tex3] o triângulo é retângulo. Daí podemos achar o raio do círculo inscrito: [tex3]r=\frac{30+16-34}{2}=6cm[/tex3]

Gab.: [tex3]S=\frac{720}{17}\,cm^2[/tex3]

[adrianotavares]

Olá,theblackmamba.

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[tex3]A_{DEF}=p\cdot r \Rightarrow \frac{16\cdot 30}{2}=\frac{16+30+34}{2}\cdot r \Rightarrow r=6[/tex3]

Pela propriedade das tangentes tem-se que:

[tex3]EC=EB[/tex3]

[tex3]DB=DA[/tex3]

[tex3]FC=FA[/tex3]

Calculando os senos dos ângulos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] encontraremos:

[tex3]\sen x =\frac{30}{34} \Rightarrow \sen x =\frac{15}{17}[/tex3]

[tex3]\sen y =\frac{16}{34} \Rightarrow \sen x =\frac{8}{17}[/tex3]

A área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é igual a área do triângulo [tex3]DEF[/tex3] menos a soma das áreas dos triângulos [tex3]ADB,FAC[/tex3] e [tex3]EBC[/tex3]

[tex3]S_{ABC}=\frac{16\cdot 30}{2}-\(\frac{6\cdot 6}{2}+\frac{10\cdot 10\cdot \sen x }{2}+\frac{24\cdot 24\cdot \sen y }{2}\)[/tex3]

Substituindo os valores do [tex3]\sen x [/tex3] e [tex3]\sen y [/tex3] e calculando teremos:

[tex3]S_{ABC}=\frac{720}{17}\text{ cm}^2[/tex3]