Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória - Fatorial Tópico resolvido

[jrneliodias]

Estou meio sem base em Análise combinatória.
Alguém poderia me explicar essa equação?

[tex3](n-2)!= 2(n-4)![/tex3]

Bem explicado, por favor. Obrigado.

[maia]

Temos (n-2)! = 2(n-4)!

Devemos observar no desenvolvimento do fatorial de (n-2)! e (n-4)! se (n-2)! chega em (n-4)! ou se (n-4)! chega em = (n-2)!
Podemos ver que (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)!
Assim, teremos:
(n-2)! = 2(n-4)! [tex3]\therefore[/tex3] (n-2)(n-3)(n-4)! = 2(n-4)! Dividindo ambos os membros da equação por (n-4)! obtemos:
(n-2)(n-3) = 2 [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]n^{2}[/tex3] - 5n + 6 = 2 [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]n^{2}[/tex3] - 5n + 4 = 0
De onde encontramos n = 1 ou n = 4.
n = 1 não serve, pois substituindo na equação inicial obtemos (n - 2)! = -1!, porém, para todo n! devemos ter n [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{N}[/tex3].
Portanto, n = 4 é a resposta.

Att.

[Alexander]

Só precisa manipular um pouco.

[tex3](n-2)!= 2(n-4)![/tex3]

[tex3](n-2)(n-3)(n-4)!= 2(n-4)![/tex3]

[tex3](n-2)(n-3)\cancel{(n-4)!}= 2\cancel{(n-4)!}[/tex3]

[tex3]n^{2} - 5n + 6 = 2[/tex3]

[tex3]n^{2} - 5n + 4 = 0[/tex3]

[tex3](n - 4)(n -1) = 0[/tex3]

n=4 ou n=1.

[tex3](4 - 2)! = 2.(4-4)! \longrightarrow 2!=2.0![/tex3] - Verdadeiro, lembrado que 0!=1

[tex3](1-2)! = 2.(1-4)! \longrightarrow (-1)! = 2. (-3)![/tex3] - absurdo, o fatorial só é válido em inteiros positivos.

[jrneliodias]

Muito obrigado, Alexander e Maia!