IME / ITA ⇒ (EsSA) Geometria Plana: Área de um Triângulo Retângulo Tópico resolvido

[rean]

O perímetro de um triângulo retangulo é [tex3]( \sqrt {12}+ 2\sqrt {6})[/tex3] cm. A área desse triângulo é:

a) [tex3]5[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d)2 [tex3]\sqrt {2}[/tex3]
e)3 [tex3]\sqrt {2}[/tex3]

[Alexandre_SC]

[tex3]a+b+\sqrt {a^2+b^2} = (\sqrt 2 + 2)\sqrt 6[/tex3]

a+b certamente é maior que [tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]

e veja que o [tex3]\sqrt 6[/tex3] é um fator comum de a e b

um triângulo possível seria um que tenha
lados a e b iguais a [tex3]\sqrt 6[/tex3] e

então teríamos área igual a 3...

mas provar que esse é o único valor possível . . .

[Thales Gheós]

Pelo perímetro [tex3]\sqrt{12}+2\sqrt{6}\rightarrow\sqrt{12}+\sqrt{6}+\sqrt{6}[/tex3] vê-se que os tres lados são representados por números irracionais, pois sendo:

[tex3]a[/tex3] um número racional e [tex3]\sqrt{w}[/tex3] um irracional, não há como [tex3]a+\sqrt{w}\rightarrow\sqrt{12}[/tex3] ou [tex3]a+\sqrt{w}\rightarrow\sqrt{6}[/tex3]. Os tres lados devem ser mesmo [tex3]\sqrt{12}\rightarrow\sqrt{6}\rightarrow\sqrt{6}[/tex3]

Vale notar que: [tex3](\sqrt{12})^2=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{6})^2[/tex3]

[Alexandre_SC]

até certo ponto concordo com você!

mas suponhamos que [tex3]w[/tex3] seja um número irracional, assim sería posível que

[tex3]a + 2a\sqrt{w} + w = 12[/tex3]

assim como seria possível que

[tex3]a + 2a \sqrt w + w = 6[/tex3]

se os lados forem

[tex3]\sqrt 6 + a[/tex3] e [tex3]\sqrt 6 - b[/tex3]

[tex3](6 + 2a \sqrt 6 + a^2)+(6-2b\sqrt 6+b) = 12[/tex3]

[tex3]2a \sqrt 6 + a^2-2b\sqrt 6+b^2=0[/tex3]

[tex3]2a \sqrt 6 + a^2 + b^2=2b\sqrt 6[/tex3]

[tex3]a^2 + b^2=2(b-a)\sqrt 6[/tex3]

sabemos que a área é

[tex3]\frac{(\sqrt 6 + a) ( \sqrt 6 - b)}2 = \frac{(a-b)\sqrt 6 -ab + 6}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{a^2+b^2}{2} -ab + 6}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{(a-b)^2}{2} + 6}{2}[/tex3]

parece óbvio, mas ainda não me convenci!

[John]

Seja [tex3]z = f_{1}(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3] e [tex3]z = f_{2}(x, y) = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - x - y[/tex3].

A equação [tex3]z = f_{1}(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3] representa um cone no espaço [tex3]R^{3}[/tex3] e a equação [tex3]z = f_{2}(x, y) = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - x - y[/tex3] representa um plano em [tex3]R^{3}[/tex3].

Podemos ver graficamente que a interseção do plano com o cone é uma curva parabólica, e esta interseção ocorre somente para [tex3]z \in [z_m, +\infty[[/tex3], onde:

1) existe somente um par [tex3](x, y) \in R^{2}[/tex3] tal que [tex3]f_{1}(x, y) = f_{2}(x, y) = z_m[/tex3].

2) para cada [tex3]z \in ]z_m, +\infty[[/tex3] existem somente dois pares [tex3](x_1, y_1), (x_2, y_2) \in R^{2}[/tex3] tais que [tex3]f_{1}(x_1, y_1) = f_{2}(x_1, y_1) = f_{1}(x_2, y_2) = f_{2}(x_2, y_2) =z[/tex3].

Pela simetria, o ponto [tex3](x, y) \in R^{2}[/tex3] para o qual [tex3]f_{1}(x, y) = f_{2}(x, y) = z_m[/tex3] encontra-se no plano [tex3]x= y[/tex3], com coordenadas positivas.
Então, [tex3]f_1(x, x) = f_2(x,x)[/tex3] se e somente se [tex3]\sqrt{x^2 + x^2} = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - x - x[/tex3], ou seja [tex3]|x|\sqrt{2} = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - 2x[/tex3]. Como [tex3]x \geq 0[/tex3], então [tex3]x \sqrt{2} = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - 2x[/tex3], ou seja

[tex3]x = \frac{\sqrt{12} + 2\sqrt{6}}{2 + \sqrt{2}} =\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2} + 2)}{\sqrt{2} + 2} =\sqrt{6}[/tex3].

Assim, o par [tex3](x, y) = (\sqrt{6}, \sqrt{6})[/tex3] é o único ponto em [tex3]R^{2}[/tex3] tal que [tex3]f_1(\sqrt{6}, \sqrt{6}) = f_2(\sqrt{6}, \sqrt{6}) = \sqrt{12} = z_m[/tex3]. Isto é, o ponto [tex3](x, y) = (\sqrt{6}, \sqrt{6})[/tex3] é a única solução da equação

[tex3]\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12} + 2\sqrt{6} - x - y[/tex3].

[Alexandre_SC]

gostei do nível da resolução . . .
(provavelmente assunto que eu estudarei no ano que vem)

[fabit]

Não falta nada nessa pergunta não? É possível determinar a área de um triângulo retângulo qualquer em função de seu perímetro?

Abraço

[Alexandre_SC]

Seja [tex3]z = f_{1}(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3] e [tex3]z = f_{2}(x, y) = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - x - y[/tex3].

A equação [tex3]z = f_{1}(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex3] representa um cone no espaço [tex3]R^{3}[/tex3] e a equação [tex3]z = f_{2}(x, y) = (\sqrt{12} + 2\sqrt{6}) - x - y[/tex3] representa um plano em [tex3]R^{3}[/tex3].


Pela simetria, o ponto [tex3](x, y) \in R^{2}[/tex3] para o qual [tex3]f_{1}(x, y) = f_{2}(x, y) = z_m[/tex3] encontra-se no plano [tex3]x= y[/tex3], com coordenadas positivas.

eu diria o seguinte

na intersecção temos

[tex3]2(\sqrt 3 +\sqrt 6)-x-y =\sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]

[tex3]2(\sqrt 3 +\sqrt 6)-x-y =\sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]

[tex3]\frac{x\,y}2=\frac{y\,\left(-\sqrt{{y}^{2}+{x}^{2}}-y+2\,\sqrt{3}+2\,\sqrt{2}\right)} 2[/tex3]

ou seja não é constante.

Agora tenho que agradecer ao fabit, eu estava precisando de mais alguem que pensasse dessa forma, caso contrário eu não teria tentado calcular.

[John]

Olá pessoal... o que eu acabei fazendo acima foi outra coisa, e saiu totalmente fora do exercício proposto. O exercício apresenta problemas e está incorreto, visto que:
[tex3]x = y = \sqrt{6}[/tex3]

e

[tex3]x = \frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3] e [tex3]y = \sqrt{12}[/tex3],

satisfazem o problema e possuem áreas distintas.

[fabit]

Concordo com o John.