IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2011) Conjuntos Numéricos Tópico resolvido

[jrneliodias]

Sabe-se que [tex3]x,\ y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são números naturais distintos e [tex3]x>y[/tex3]. Considere [tex3]A=x.y[/tex3] e [tex3]B=(x.y.z)^2[/tex3] e que o [tex3]mdc(A,B)[/tex3] e o [tex3]mmc(A,B)[/tex3] são respectivamente, [tex3]21[/tex3] e [tex3]1764[/tex3]. Se [tex3]W= x^2+y^2+z^2[/tex3] então o conjunto formado pelos divisores naturais de [tex3]W[/tex3] possui:

a) 12 elementos.

b) 6 elementos.

c) 9 elementos.

d) 4 elementos.

Resposta

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letra d : 4 elementos

[roberto]

[tex3]A=x.y[/tex3]
[tex3]B=(x.y.z)^2[/tex3]

mdc ( A, B) = xy = 21 = 3 ⋅ 7 ⇒ x = 7 e y = 3 pois x > y

mmc ( A, B) = [tex3]x^2.y^2.z^2=1764\rightarrow (xyz)^2=1764 \rightarrow[/tex3]

[tex3]\sqrt{( xyz)} = 1764\rightarrow xyz = \sqrt{2^2.3^2.7^2}[/tex3]⇒ xyz = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⇒ z = 2

∴ W = [tex3]x^ 2 + y ^2 + z ^2 = 49 + 9 + 4 = 62[/tex3]
nD(62) = 2 ⋅ 2 = 4

[jrneliodias]

Fiquei com duas dúvidas:
Por que o mdc = 7.3 e nD(62) = 2 ⋅ 2 = 4?

[roberto]

Olá: o mdc(A,B)=21 é dado na questão!
e 3.7 é a única maneira (a menos da ordem) de fatorar 21, como produto de dois números naturais!
E n(D) é o número (quantidade) de divisores de 62.
[tex3]62=2^1.31^1[/tex3]
Então tem [tex3](1+1).(1+1)=4[/tex3] divisores naturais!

[jrneliodias]

Não poderia fatorar o [tex3]21=21.1[/tex3]?

[FilipeCaceres]

Olá jrneliodias,

Na fatoração nós decompomos o número em fatores primos, veja que [tex3]21[/tex3] não é primo, o correto é [tex3]21=3\cdot 7[/tex3].

Abraço.

[jrneliodias]

hmm entendi, Obrigado

[mpfaraujo]

Olá jrneliodias,

Na fatoração nós decompomos o número em fatores primos, veja que [tex3]21[/tex3] não é primo, o correto é [tex3]21=3\cdot 7[/tex3].

Abraço.

Na verdade na questão não há nenhum impedimento para [tex3]x=21[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]. Nesse caso, ainda teríamos [tex3]z = 2[/tex3] e a resposta seria o número de divisores de [tex3]W=21^2+1^2+2^2=446[/tex3] acontece que [tex3]446[/tex3] também tem 4 divisores positivos. Ao menos eu não vi no enunciado nada dizendo que [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] sejam primos ...

[cpfdojr]

Tudo bem de a questão não falar em numeros primos, mas podemos observar que o MDC entre 21 e 1 é igual a 1, não é verdade?

[mpfaraujo]

Tudo bem de a questão não falar em numeros primos, mas podemos observar que o MDC entre 21 e 1 é igual a 1, não é verdade?

Realmente .. mas o [tex3]mdc[/tex3] citado é entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] e não entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3].