Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo Retângulo

[rean]

Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa mede 9 e 16.
Determine a área do triângulo.

[John]

Considere o triângulo ABC retângulo em B. Seja [tex3]x[/tex3] a medida do cateto AB e [tex3]y[/tex3] a medida do cateto BC. Sejam [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo BAC e [tex3]\beta[/tex3] o ângulo BCA.

A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa é dado por [tex3]x\cos(\alpha)[/tex3] e a projeção do cateto BC sobre a hipotenusa é dado por [tex3]y\cos(\beta)[/tex3]. Vamos assumir que:

[tex3]x\cos(\alpha) = 9[/tex3] e [tex3]y\cos(\beta) = 16[/tex3].

Note que a medida da hipotenusa é: [tex3]x\cos(\alpha) + y\cos(\beta) = 25[/tex3].

Do triângulo temos que [tex3]\sin(\alpha) = \frac{y}{25}[/tex3] e [tex3]\sin(\beta) = \frac{x}{25}[/tex3].

Dai,

[tex3]0 = \cos(90^{o})=\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)[/tex3]

ou seja,

[tex3]\cos(\alpha)\cos(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta)[/tex3]

[tex3]\frac{9}{x}.\frac{16}{y} = \frac{y}{25}.\frac{x}{25}[/tex3]

[tex3](xy)^{2} = 9.16.(25)^{2} -> xy = 3.4.25 = 300[/tex3].

Portanto, a área do triângulo é: [tex3]A = \frac{xy}{2} = \frac{300}{2} = 150[/tex3].