IME / ITA ⇒ ( ITA - 2004 ) Polinômios Tópico resolvido

[Leandro]

Para algum número real r, o polinômio [tex3]8x^3\,-\,4x^2\,-\,42x\,+\,45[/tex3] é divisível por [tex3](x\,-\,r)^2[/tex3]. Qual dos números abaixo está mais próximo de r?
a) 1,62 b) 1,52 c)1,42 d) 1,32 e) 1,22

Resposta

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Gabarito: B

Obs.: vi uma resolução desta questão que envolve a fatoração do polinômio, mas uma fatoração que me parece muito hardcore:
[tex3]8x^3\,-\,4x^2\,-\,42x\,+\,45[/tex3]
[tex3]8x^3+20x^2-24x^2-60x+18x+45[/tex3]
[tex3]4x^2(2x+5)-12x(2x+5)+9(2x+5)[/tex3]
[tex3](2x+5)(4x^2-12x+9)[/tex3]
[tex3](2x+5)(2x-3)^2[/tex3]

Gostaria muito que explicassem na resolução como fazer isso.

[FilipeCaceres]

Olá Leandro,

Essa fatoração está meio aluciante.

Acho que a forma mais simples seria usando o cálculo. Se um polinômio admite raiz dupla então uma das raízes também é raiz de sua derivada.

[tex3]f(x)=8x^3\,-\,4x^2\,-\,42x\,+\,45[/tex3]
[tex3]f'(x)=24x^2-8x-42[/tex3]

Usando Báskara encontramos [tex3]r_1=\frac{3}{2}[/tex3] e [tex3]r_2=-\frac{7}{6}[/tex3]

Agora é só testar e ver qual é raiz do polinômio e pronto.

Que neste caso é [tex3]r=\frac{3}{2}=1,5[/tex3]. Letra B
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Uma outra forma seria usar Briot-Ruffini
[tex3]\begin{array}{l|r} & 8 & -4 & -42 & 45 \\\hline r & 8 & 8r-4 &8r^2-4r-42|&resto \\ r & 8 & 16r-4 |& 24r^2-8r-42&\end{array}[/tex3]

Como [tex3]r[/tex3] é raiz devemos ter [tex3]24r^2-8r-42=0[/tex3], o resto é análogo.

Abraço.

[Leandro]

Valeu Filipe