Ensino Fundamental ⇒ Média Harmônica Tópico resolvido

[mariaduarte]

Se A,P,B e Q dividem o segmento abaixo harmonicamente, calcule o valor de x

A_____12__P_3x___B_______15-2x____Q

[FilipeCaceres]

Olá mariaduarte,

Como o enunciado diz que a divisão é harmônica, podemos escrever o seguinte:
[tex3]\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\overline{QA}}{\overline{QB}}=k[/tex3]

Susbtituindo os valores,
[tex3]\frac{12}{3x}=\frac{27+x}{15-2x}[/tex3]
[tex3]12(15-2x)=3x(27+x)[/tex3]
[tex3]180-24x=81x+3x^2[/tex3]
[tex3]3x^2+105x-180=0[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]3[/tex3]
[tex3]x^2+35x-60=0[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x=\frac{-35\pm \sqrt{35^2-4\cdot 1\cdot (-60)}}{2}[/tex3]
[tex3]x=\frac{-35\pm \sqrt{1465}}{2}[/tex3]

Mas [tex3]x=\frac{-35- \sqrt{1465}}{2}[/tex3] não serve, caso contrário teríamos uma medida negativa.

Logo o valor desejado vale,
[tex3]\boxed{x=\frac{-35+ \sqrt{1465}}{2}}[/tex3]

Abraço.

[mariaduarte]

muito obrigada