IME / ITA ⇒ Análise Combinatória e Poliedros de Platão Tópico resolvido

[carlos_neves]

De quantos modos se pode pintar:
a) um tetraedro regular, com 4 cores diferentes;
b) um octaedro regular, com 8 cores diferentes;
c) um dodecaedro regular, com 12 cores diferentes;
d) um icosaedro regular, com 20 cores diferentes.

Agradeço qualquer ajuda.

[italoemanuell]

Olá carlos_neves!!!

Nessa questão,resolverei somente o item A e deixarei como observação uma generalização para a resolução dos demais itens.

O número de maneiras de pintar um tetraedro regular com 4 cores é 4!.
Contudi,imaginemos um observador de frente para um determinada face,digamos a vermelha.Girando o tetraedro ao redor do eixo perpendicular a essa face,podemos obter 2 posições do tetraedro,mantendo inalterada a face vermelha.
Como isso pode ser feito com todas as 4 faces do tetraedro,resulta que o número de possibilidades é:[tex3]\frac{4!}{2.4}[/tex3]=3 maneiras.

Observação:
Este problema pode ser generalizado para um poliedro regular com F faces,tendo cada face n lados.O número de modos de pintar esse poliedro com F faces com uma cor,é:x=[tex3]\frac{F!}{F.n} = \frac{(F-1)!}{n}[/tex3].

Espero ter ajudado...


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"Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Weierstrass)"

[carlos_neves]

Valeu italoemanuell!

Mas só uma coisa: acho que quando você disse "podemos obter 2 posições do tetraedro" você quis dizer 3 certo?. Mesmo porque apenas assim chegamos em um resultado que vai de acordo com a generalização.

[Projenitor]

Oiii a todos!!!

Realmente,ele errou é para ser é 2 posições memso!!!