Olimpíadas ⇒ (IMO-2005) Desigualdade Tópico resolvido

[Aron]

Seja [tex3]x,y,z[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]xyz\geq1[/tex3] Demonstre que
[tex3]\frac{x^{5}-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geq 0[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Aron

Temos que [tex3]x,y,z \in \mathbb{R_+}[/tex3] e [tex3]xyz\geq 1[/tex3]. Então podemos afirmar que:

[tex3]x,y,z \in \mathbb{R^*_+}[/tex3] [tex3](I)[/tex3]

[tex3]x^2, y^2, z^2 > 0[/tex3] [tex3](II)[/tex3]

[tex3]x^5, y^5, z^5 > 0[/tex3] [tex3](III)[/tex3]

[tex3]\Downarrow[/tex3]

[tex3](x^5 + y^2 +z^2), (y^5 +z^2 +x^2),(z^5+x^2+y^2) > 0[/tex3]

Agora, vamos para equação:

Chamaremos de [tex3]\alpha =x^5 + y^2 +z^2[/tex3], [tex3]\beta = y^5 +z^2 +x^2[/tex3] e [tex3]\theta = z^5+x^2+y^2[/tex3] para simplificar a equação.

[tex3]\frac{x^5-x^2}{\alpha} + \frac{y^5-y^2}{\beta} + \frac{z^5-z^2}{\theta} \geq 0[/tex3]

[tex3]\frac{\beta. \theta.(x^5-x^2) + \alpha. \theta.(y^5-y^2) + \alpha. \beta.(z^5-z^2)}{\alpha.\beta.\theta} \geq 0[/tex3]

Sabemos que [tex3]\alpha.\beta.\theta>0[/tex3], assim:

[tex3]\beta. \theta.(x^5-x^2) + \alpha. \theta.(y^5-y^2) + \alpha. \beta.(z^5-z^2)\geq0 \Leftrightarrow (x^5-x^2)\geq0[/tex3] ou [tex3](y^5-y^2)\geq0[/tex3] ou [tex3](z^5-z^2)\geq0[/tex3]

[tex3]x^5-x^2>0 \Leftrightarrow x^2(x^3-1)>0[/tex3]. Usando o estudo dos sinais, chegamos à:

[tex3]x>1[/tex3]. Percebemos que esse raciocínio pode ser usado para [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3].

Assim, concluimos que:

[tex3]\boxed{S=\{x,y,z \in \mathbb{R^*_+} | x,y,z>1\}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Aron]

Saudações, desculpe não agradecer é que eu realmente esqueci, mas enfim concordo com a solução e agradeço a ajuda

Abraços...