Física III ⇒ Expressão relativística de energia cinética

[emanuel9393MOD]

Mostre que a expressão relativística da energia cinética proposta por Einstein:
[tex3]E_{c} = m_{0} \cdot c^{2} \cdot \left[\frac{1}{\sqrt{1 -\left(\frac{u}{c}\right)^{2} }} -
1\right][/tex3]
se transforma em [tex3]E_{c} \, = \, \frac{m_{0} \cdot u^{2}}{2}[/tex3], expressão da energia cinética da Física Clássica, quando a velocidade [tex3]u[/tex3] é muito menor que a velocidade da luz.

[theblackmamba]

Olá emanuel,
Não seria:
[tex3]E_{c} \, = \, m_{0} \cdot c^{2} \cdot \left[\frac{1}{\sqrt{1 \, - \, \left(\frac{u}{c}\right)^{2} \,}} \, - \, 1\right][/tex3] ?

[poti]

Na mecânica relativística a energia cinética é dada por [tex3]mc^2 - m_0 c^2[/tex3].

Não entendi.

[emanuel9393MOD]

Isso mesmo!

Essa expressão relaciona a energia cinética que é dada pela subtração da energia total com a energia de repouso do corpo. Encontrei essa questão no 11° volume da coleção Física Teórica do Zemansky (página 435 / exercício R.1987).

Um abraço!

[theblackmamba]

Faria desta maneira:

Temos que:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{v}\right)^2}}=\left[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}[/tex3]

Para [tex3]u \ll c[/tex3] consequentemente temos [tex3]\left(\frac{u}{c}\right)^2 \ll 1[/tex3].

O truque é (já mencionado pelo Filipe Caceres algumas vezes):
[tex3](1+x)^n=1 + nx[/tex3], para [tex3]x \ll 1[/tex3].

Aplicando:

[tex3]\left[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}=1 + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{u}{c}\right)^2[/tex3]

Substituindo na expressão principal:

[tex3]E_c=m_0c^2 \cdot \left[\cancel{1} + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{u}{c}\right)^2-\cancel{1}\right][/tex3]
[tex3]E_c=m_0\cancel{c^2} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{u^2}{\cancel{c^2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{E_c=\frac{1}{2}\cdot m_0 \cdot u^2}[/tex3]

Abraço.

[emanuel9393MOD]

Na mecânica relativística a energia cinética é dada por [tex3]mc^2 - m_0 c^2[/tex3].

Não entendi.

É a mesma coisa, Poti.
Veja:
[tex3]E_{c} =\underbrace{m}_{\gamma \cdot m_{0}}\cdot c^{2} - m_{0} \cdot c^{2} \Rightarrow E_{c} = \gamma \cdot m_{0} \cdot c^{2} - m_{0} \cdot c^{2} \Rightarrow E_{c} = m_{0} \cdot c^{2}\left(\gamma \, - \, 1\right
)[/tex3]
Como [tex3]\gamma \, = \, \frac{1}{\sqrt{1 \, - \, \left(\frac{u}{c}\right)^{2}}}
[/tex3], temos:
[tex3]E_{c} \, = \, m_{0} \cdot c^{2} \cdot \left[\frac{1}{\sqrt{1 \, - \, \left(\frac{u}{c}
\right)^{2} \,}} \, - \, 1\right][/tex3]

Um abraço!

Olá emanuel,
Não seria:
[tex3]E_{c} \, = \, m_{0} \cdot c^{2} \cdot \left[\frac{1}{\sqrt{1 \, - \, \left(\frac{u}{c}
\right)^{2} }} \, - \, 1\right][/tex3] ?

É isso mesmo, theblackmamba! vou fazer a correção.

[emanuel9393MOD]

Poxa! Não acredito nisso, theblackmamba!

Era só aplicar uma das consequências do binômio de Newton!

Quero agradecer a atenção sua e do poti.

Um abraço!