IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Juros Simples Tópico resolvido

[alinebotelho]

Uma pessoa tomou um capital [tex3]C[/tex3] a uma taxa mensal numericamente igual ao número de meses que levará para saldar o empréstimo. Tal pessoa aplica o capital [tex3]C[/tex3] a uma taxa de [tex3]24\%[/tex3] ao mês. Para que tenha um lucro máximo na operação, deverá fazer o empréstimo e a aplicação durante um número de meses igual a:

a) [tex3]6[/tex3]
b) [tex3]12[/tex3]
c) [tex3]18[/tex3]
d) [tex3]24[/tex3]
e) [tex3]36[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá alinebotelho,

Digamos que seja [tex3]n[/tex3] a quantidade de meses que levará para saldar o empréstimo. Portanto, a taxa mensal do empréstimo será [tex3]\frac{n}{100}.[/tex3]

Assim, utilizando a fórmula dos juros simples, temos que o valor [tex3]M_{\text{pagar}}[/tex3] que a pessoa irá pagar ao final dos [tex3]n[/tex3] meses, será:

• [tex3]M_{\text{pagar}}=C(1+i\cdot n)[/tex3]
  
  [tex3]M_{\text{pagar}}=C(1+\frac{n}{100}\cdot n)[/tex3]

E, aplicando o capital [tex3]C[/tex3] durante os [tex3]n[/tex3] meses, terá um montante [tex3]M_{\text{receber}}[/tex3] de:

• [tex3]M_{\text{receber}}=C(1+0,24\cdot n)[/tex3]

O lucro que a pessoa terá será calculado por:

• [tex3]L=M_{\text{receber}}-M_{\text{pagar}}[/tex3]
  
  [tex3]L=C(1+0,24\cdot n)-C\left(1+\frac{n}{100}\cdot n\right)[/tex3]
  
  [tex3]L=C\left(\frac{n^2}{100}-0,24\cdot n\right)[/tex3]

Veja que o lucro será máximo quando a equação do segundo grau entre parênteses tiver seu valor máximo. Ou seja, isso acontecerá quando [tex3]n[/tex3] for a abscissa do vértice:

• [tex3]n_{\text{v\acute{e}rtice}}=-\frac{-0,24}{2\cdot \frac{1}{100}}=12\text{ meses}[/tex3]