Ensino Médio ⇒ (Cesesp-PE) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[Rafael16]

Olá pessoal,

Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10 km por dia e o outro caminha 8 km no primeiro dia e acelera o passo de modo a caminhar mais 0,5 km a cada dia que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de dias caminhados para que o segundo andarilho alcance o primeiro.

(a) 10
(b) 9
(c) 3
(d) 5
(e) 21


Minha resolução:

(I) (10,20,30...) (Primeiro andarilho)
(II)(8,33/2,...) (Segundo andarilho) encontrei a razão como sendo r = 17/2

[tex3](I){a}_{n}={a}_{1}+(n-1)r[/tex3]
Substituindo os valores do primeiro andarilho
[tex3]{a}_{n}=10n[/tex3]

[tex3](II){a}_{n}={a}_{1}+(n-1)r[/tex3]
Substituindo os valores
[tex3]{a}_{n}=\frac{17}{2}n-\frac{1}{2}[/tex3]

Igualei (I) com (II) para achar n, que é o número de dias para alcançar o primeiro:

[tex3]10n=\frac{17}{2}n-\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]n=-\frac{1}{3}[/tex3]

Não entendi se minha conta esta errada, ou se é meu raciocínio...
Gostaria que me explicasse isso, valeu!

Resposta: b

[GabrielDias]

Bem, vamos esquecer as formulas e raciocinar um pouco, esta questão pode ser feita de cabeça.


Imaginemos o primeiro andarilho, este tem a velocidade contaste de 10 km/dia, portanto este ira locomover-se somente em distancias múltiplas de 10, ou seja, 10 , 20 , 30 ,40 ,50 ,60 ....(adicionando 10 para cada dia).

Imaginemos agora o segundo andarilho, este caminha primeiramente 8km no primeiro dia, depois ira acelerar 0.5km a cada dia que se passa.Sendo assim nos teremos que descobrir o dia em que o segundo andarilho chega-ra a uma distancia múltipla de 10 que sera igual a que o primeiro andarilho chega-ra neste mesmo dia, exemplo 10 km >> 1 dia, 20 km >> 2 dia , 3 km >> 3dia...

Vamos começar:

Andarilho 1 :

Dia 1 >>> 10
Dia 2 >>> 20
Dia 3 >>> 30
Dia 4 >>> 40
Dia 5 >>> 50
Dia 6 >>> 60
Dia 7 >>> 70
Dia 8 >>> 80
Dia 9 >>> 90
Dia 10 >>> 100
...

Andarilho 2:

Dia 1 >>> 8
Dia 2 >>> 8 + 8 + 0.5 = 16.5
Dia 3 >>> 16.5 + 8 + 1 = 25.5
Dia 4 >>> 25.5 + 8 +1.5 = 35
Dia 5 >>> 35 + 8 + 2 = 45
Dia 6 >>> 45 + 8 + 2.5 = 55.5
Dia 7 >>> 55.5+ 8 + 3 = 66.5
Dia 8 >>> 66.5 + 8 + 3.5 = 78
Dia 9 >> 78.5 + 8 + 4 = 90 <<<<<<<< Observe que neste dia ele andou uma distancia múltipla de 10 e que coincidiu com o dia 9 do primeiro andarilho.

Portanto, resposta 9 dias.

Obs : Eu acho mais interessante esta primeira resolução, mas se você preferir pode resolver por álgebra:

Sabemos que o termo geral de uma P.A e dado por:

an = a1 ( n - 1 ) . r

E sabemos que a soma e :

Sn = ( a1 - an).[tex3]\frac{n}{2}[/tex3]

Como queremos saber A distancia em que os dois se encontram teremos que descobrir qual a soma de todos os termos anteriores ate o termo (dia) em que os dois se encontrarão.logo:

an = a1 ( n - 1 ) . r

an = 8 ( n -1 ) .[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Sn = ( a1 + an).[tex3]\frac{n}{2}[/tex3]

Sn = ( 8 + 8 . ( n - 1 ) ) . [tex3]\frac{n}{2}[/tex3] =

[tex3]\frac{n^{2} + 31.n}{4}[/tex3] <<< Segundo andarilho

Como o primeiro tem velocidade constante a soma de seus termos sera

10 . n <<< Primeiro andarilho

Igualando as duas expressões:

[tex3]\frac{n^{2} + 31.n}{4}[/tex3] = 10 . n

n . ( n - 9 ) = 0

Os possíveis valores de " n " :

n = 9 ou n = 0

Por logica eliminamos o valor n = 0

Sobrando n = 9

Ou seja 9 dias.

Abraço.