Concursos Públicos ⇒ Dízima periódica Tópico resolvido

[Filipe]

O número máximo de algarismos no período de uma dízima periódica obtida a partir do número racional [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] onde q é um número primo é igual a:
a) q
b) q+1
c) 2q
d) q-1
e) p+q

[cajuADMIN]

Olá Filipe,

Podemos começar observando a divisão entre dois números:

2_divisao_1.jpg (5.3 KiB) Exibido 186 vezes

Podemos ver que cada algarismo que colocamos no quociente, temos um resto no algoritmo da divisão. Quando os algarismos do quociente começam a se repetir, os restos começam a se repetir também.

Como sabemos que a quantidade de restos possíveis em uma divisão não exata é igual a uma unidade a menos que o denominador (por exemplo, ao dividir um número por 6, só podemos ter os restos 1, 2, 3, 4 e 5 - ZERO seria uma divisão exata), então podemos ter esta mesma quantidade de algarismos na dízima. Com este raciocínio, podemos escrever a seguinte propriedade:

O comprimento do período da dízima [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é, no máximo, [tex3]b-1[/tex3]

E isto vale para todas dízimas, com denominador primo ou não.

O fato é que, quando o comprimento é exatamente uma unidade a menos que o denominador, o denominador é primo.
Mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, se o denominador for primo, não podemos garantir que o comprimento seja uma unidade a menos que ele, exemplo é 1/3 = 0,33333... que tem comprimento 1 e não 3-1=2.