IME / ITA ⇒ (ITA - 1973) Inequação Tópico resolvido

[Leandro]

A desigualdade [tex3]a^3\,+\,\frac{1}{a^3}\,\g\,a^2\,+\,\frac{1}{a^2}[/tex3] é verdadeira se:

a) [tex3]\,\,\,\mid a \mid\,\g\,1[/tex3].
b) [tex3]\,\,\,a\,\neq\,1,\,a\,\neq\,0[/tex3].
c) [tex3]\,\,\,a\,\g\,0\,[/tex3] e [tex3]a\,\neq\,1[/tex3].
d) [tex3]\,\,\,\mid a \mid\,\, menor\,\,que\,\,1,\,a\,\neq\,0[/tex3].
e) n.d.a.

Desculpem por literalmente "escrever a matemática" na alternativa d, mas não consigo fazer o sinal de "menor que".

Não tenho o gabarito.

[manerinhu]

observe que de cara tiramos que A tem que ser diferente de 0, mas nao muda muita coisa

I) para a = 2, temos: 8 + 1/8 > 4 + 1/4, o que corresponde, logo a pode ser maior que 1
II) para a = 1, temos 2 > 2, que nao corresponde, logo a também deve ser diferente de 1
III) para a = 1/2, temos 1/8 + 8 > 1/4 + 4, o que corresponde, logo a pode estar entre 0 e 1

IV) para a = -1/2, temos -1/8 -8 > 1/4+4, o que não corresponde, logo a não pode estar entre -1 e 0
V) para a = -1, temos: -1 -1 > 1 + 1, o que não corresponde, logo a não pode ser menor que 0
VI) para a = -2, temos -8 -1/8 > 4 + 1/4, o que não corresponde, logo a não pode ser menor que -1


VI exclui a A e B

de IV, V e VI, tiramos que a deve ser maior que 0
então exluímos a opçao D
a opção C não nos dá a =/= 0, apesar de dar que tem que ser maior que 0, então talvez seja C

[poti]

Já tiramos de cara que [tex3]a \neq 0[/tex3] para não furar as operações. (1)

[tex3]a^3 + \frac{1}{a^3} - a^2 - \frac{1}{a^2} > 0[/tex3]

[tex3]\frac{a^6 + 1 - a^5 - a}{a^3} > 0[/tex3]

[tex3]\frac{a^6 - a^5 - a + 1}{a^3} > 0[/tex3]

Perceba que na parte de cima temos uma equação recíproca de primeira espécie. Usando 1 como raiz no Briot-Ruffini e fatorando, tiramos:

[tex3]\frac{(a - 1)^2 (a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)}{a^3} > 0[/tex3]

Para o dividendo:

[tex3]0 < a < 1[/tex3] implica em um número sempre positivo, pois [tex3](a - 1)^2[/tex3] é sempre positivo e [tex3]a^4 + a^3 + a^2 + a + 1[/tex3] será uma soma de positivos, que também é positivo.
[tex3]a = 1[/tex3] implica em [tex3]\frac{0}{1} > 0[/tex3], o que é falso.
[tex3]a < 0[/tex3] implica em um número sempre positivo, já que [tex3](a-1)^2[/tex3] é sempre positivo e [tex3]a^4 + a^2 + 1 > a^3 + a[/tex3] é válido para qualquer número real.

Para o divisor:

[tex3]a > 0[/tex3] resultará sempre em positivo.
[tex3]a < 0[/tex3] resultará sempre em negativo.

Como o dividendo é sempre positivo para [tex3]a \neq 1[/tex3] (2) e o divisor assume valores negativos e positivos, queremos apenas a intersecção dos valores positivos.

[tex3]a \neq 0[/tex3] (1)
[tex3]a \neq 1[/tex3] (2)
[tex3]a > 0[/tex3]

Interseccionando: [tex3]\boxed{a > 0}[/tex3] e [tex3]\boxed{a \neq 1}[/tex3].

Letra C

[Leandro]

Muito obrigado a ambos, manerinhu e poti pelas respostas

Por acaso algum de vocês conhece algum site que disponibilize um bom material sobre inequações? Já dei uma procurada mas não encontrei nada que passe do completamente óbvio, nada que ajude a resolver uma questão um pouco mais complexa.

[Leandro]

poti, a não ser que eu esteja viajando, tua afirmação de que pra todo real [tex3]x(x-1)(x^2 + 1) > 0[/tex3] é verdade, não procede. Por exemplo, fazendo x = 1/4, fica negativo.

[poti]

Eu escrevi errado cara, essa não é a fatoração correta. A correta seria:

[tex3]x(x+1)(x^2 + 1) + 1 > 0[/tex3]

Outra forma de ver é percebendo que essa equação do quarto grau é uma "parábola" com concavidade "mais aberta/larga" e todos coeficientes positivos, o que deixa ela toda pra cima do eixo x.