Ensino Fundamental ⇒ Coordenadas Cartesianas Tópico resolvido

[ivan]

Os pontos M, N e P de um mesmo plano cartesiano definem um triângulo equilátero; M (2 , - 2), N ( 4, - 2) e P pertence ao 4º quadrante. Determine as coordenadas do ponto P.

Resposta

---

R: P (3; - 2 - [tex3]\sqrt{3})[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Ivan,

Novamente vamos fazer a figura para ficar mais simples a compreensão.

coordenadas1.png (11.08 KiB) Exibido 978 vezes

A distância entre [tex3]M\,\,e\,\,N[/tex3] vale [tex3]\ell=2[/tex3]. Por Pitágoras temos,
[tex3]\ell^2=h^2+\frac{\ell^2}{4}[/tex3]
[tex3]h^2=\ell^2-\frac{\ell^2}{4}[/tex3]
[tex3]h^2=\frac{3\ell^2}{4}[/tex3]
[tex3]h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Substituindo o valor,
[tex3]h=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}[/tex3]

Temos duas possibilidades para o ponto [tex3]P[/tex3](veja figura).

1º caso: Triângulo superior

A coordenada [tex3]x[/tex3] de [tex3]P_1[/tex3] será igual de [tex3]P_2[/tex3] que corresponde ao ponto médio de [tex3]M\,\,e\,\,N[/tex3]
[tex3]P_x=\frac{2+4}{2}=3[/tex3]

Para encontrar a coordenade [tex3]y[/tex3] de [tex3]P_1[/tex3] basta somar a valor da altura.
[tex3]P_y=-2+\sqrt{3}[/tex3]

Logo temos,
[tex3]\boxed{P_1=(3,-2+\sqrt{3})}[/tex3]

2º caso: Triângulo inferior

A coordenada [tex3]x[/tex3] de [tex3]P_2[/tex3] já foi calculado.
[tex3]P_2=3[/tex3]

Para encontrar a coordenade [tex3]y[/tex3] de [tex3]P_2[/tex3] basta subtrair a valor da altura.
[tex3]P_y=-2-\sqrt{3}[/tex3]

Logo temos,
[tex3]\boxed{P_1=(3,-2-\sqrt{3})}[/tex3]

Abraço.