Ensino Médio ⇒ Princípio da indução finita Tópico resolvido

[jrneliodias]

Demonstre usando o princípio da indução finita que:

[tex3]\large 2+5+8+\cdots+\cdots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}\,,\,\,\forall\,n\,\in\,\mathbb{N}[/tex3]

[theblackmamba]

Para [tex3]n=k[/tex3] é valído, [tex3]n\geq 1[/tex3].

Supondo para [tex3]n=k+1[/tex3]. Temos de provar que:

[tex3]2+5+8+\cdots+\cdots+[2+3(k+1)]=\frac{[(k+1)+1][(4+3(k+1)]}{2}\,,\,\,\forall\,n\,\in\,\mathbb{N}[/tex3]

Vamos pegar a expressão inicial:
[tex3]2+5+8+\cdots+\cdots+(2+3k)=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Some [tex3]2+3(k+1)[/tex3] ao dois lados e desenvolvendo obterá o resultado.

ABraço.

[poti]

[tex3]\sum_{k=0}^n (2 + 3k) = \sum_{k=0}^n 2 + \sum_{k=0}^n 3k = 2(n+1) + 3\frac{n(n+1)}{2} = \boxed{\frac{(n+1)(4+3n)}{2}}[/tex3]

[jrneliodias]

Muito obrigado, theblackmamba e Poti.