Pré-Vestibular ⇒ (UFRGS) Probabilidade e Geometria Plana Tópico resolvido

[mawapa]

Deseja-se construir um triângulo com vértices sobre vértices de um octógono regular.
Determine a probabilidade de que sejam usados somente diagonais e nenhum dos lados do octógono.

Resposta:

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[tex3]\frac{2}{7}[/tex3]

[Eduardo]

numerando os vértices de 1 a 8:

para formar um triângulo basta escolher 3 vértices, entao a um total de:

[tex3]\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3!} = 56[/tex3] triangulos (o 3! se deve ao fato que a ordem dos vértices escolhidos não importa)

para fazer triangulos usando apenas diagonais, nao se pode escolher vertices adjacentes, e sao divididos em 2 "casos":

caso em que os dois primeiros vertices sao separados por apenas um vertice, e os outros casos:

por exemplo: caso o primeiro vértice seja o 1, se o segundo for o 3 então o terceiro nao poderia ser nem o 8, nem o 2 e nem o 4. (válido de modo semelhante se o segundo for 7)
Se o primeiro for 1 e o segundo for 4 , nao poderiam ser escolhidos nem o 8, nem o 2 nem o 3 e nem o 5. (válido de modo semelhante se o segundo for 5 ou 6 também)

entao contando os triangulos possiveis:

[tex3]\frac{8\cdot 2\cdot 3}{3!} +\frac{8\cdot 3\cdot 2}{3!} = 16[/tex3] o primeiro e o segundo fator se devem respectivamente ao primeiro e segundo casos, e o 3! pelo mesmo motivo acima

[tex3]\frac{16}{56} = \frac{2}{7}[/tex3]

[Eduardo]

Com os vértices 12345678 podem se formar os seguintes triângulos:

123 124 125 126 127 128 134 135 136 137 138 145 146 147

148 156 157 158 167 168 178 234 235 236 237 238 245 246

247 248 256 257 258 267 268 278 345 346 347 348 356 357

358 367 368 378 456 457 458 467 468 478 567 568 578 678

(ou seja 56 triângulos)

Os que não têm nenhum número consecutivo são (isso se deve ao fato como explicado antes, se voce pegar dois vertices conecutivos voce esta pegando um dos lados) são:

135 136 137 146 147 157 246 247

248 257 258 268 357 358 368 468

(ou seja 16 triângulos)

[tex3]\frac{16}{56}=\frac{2}{7}[/tex3]