(OIM - 1994) Números Sensatos - Estude! Com Prof. Caju

rean · 2007-11-21T12:29:49+00:00

Dizemos que um número natural n é [i]sensato[/i] se existe um inteiro r, com 1<r<n-1, tal que a representação de n na base r tem todos os seus dígitos…

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Nov 2007 21 10:29

(OIM - 1994) Números Sensatos

Mensagempor rean » 21 Nov 2007, 10:29

Mensagem por rean » 21 Nov 2007, 10:29

Dizemos que um número natural [tex3]n[/tex3] é sensato se existe um inteiro [tex3]r,[/tex3] com [tex3]1<r<n-1,[/tex3] tal que a representação de [tex3]n[/tex3] na base [tex3]r[/tex3] tem todos os seus dígitos iguais.
Por exemplo, [tex3]62,[/tex3] e [tex3]15[/tex3] são sensatos, já que [tex3]62[/tex3] é [tex3]222[/tex3] na base [tex3]5[/tex3] e [tex3]15[/tex3] é [tex3]33[/tex3] na base [tex3]4.[/tex3]
Mostre que [tex3]1993[/tex3] não é sensato mas [tex3]1994[/tex3] é.

Editado pela última vez por rean em 21 Nov 2007, 10:29, em um total de 1 vez.

rean

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• Demonstrar que [tex3]AB = AD+BC[/tex3].

• Calcular, em...

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geobson

@EsleyPires , segue

(solução e desenho de Igor)
item a:

i) Seja O' o centro da semicircunferencia e M, N e P seus pontos de tangência com ABCD, Seja também CN e CM iguais a "a" e ND e NP iguais a "b". Como ABCD é inscritível, se ∠ABD = 2𝛂 então...
geobson3EsleyPires1: 3 Resp.; 772 Exibições; Últ. msg por geobson
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Primeira Postagem

rean

Determine todos os pares [tex3](a,b),[/tex3] onde [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números inteiros positivos de dois dígitos cada um, tais que [tex3]100a+b[/tex3] e [tex3]201a+b[/tex3] são quadrados perfeitos de quatro dígitos.

Últ. msg

theblackmamba

Devemos ter [tex3]100a + b = m^2[/tex3] e [tex3]201a + b = n^2[/tex3], onde [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros tais que [tex3]0<m<n<100[/tex3]. Daí segue que [tex3]n^2-m^2=101a[/tex3].
Como [tex3]n^2-m^2 = (n+m)(n-m)[/tex3] é múltiplo...
rean1theblackmamba1: 1 Resp.; 1224 Exibições; Últ. msg por theblackmamba
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Primeira Postagem

edu_vrb

(OIM - 2003) No quadrado [tex3]ABCD,[/tex3] sejam [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] pontos pertencentes aos lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] respectivamente, distintos dos extremos, tais que [tex3]BP = CQ.[/tex3] Consideram-se pontos...

Últ. msg

goncalves3718

Sabendo que esse enunciado da Olimpíada IberoAmericana refere-se ao quadrado abaixo:
(digo isso, pois já resolvi essa questão), podemos seguir os seguintes procedimentos:

Recorte o [tex3]ΔPQC[/tex3] e coloque-o em outra posição formando o...
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Primeira Postagem

ALDRIN

Construa um triângulo retângulo com hipotenusa [tex3]c[/tex3] dado que a mediana em relação a hipotenusa é a média geométrica entre os catetos do triângulo.

Últ. msg

theblackmamba

Sabemos que a mediana em relação a hipotenusa equivale a metade do valor da hipotenusa.

Temos a seguinte relação com os dados do enunciado:

[tex3]\frac{c}{2} = \sqrt{ab}[/tex3]
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Sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo...
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Hanon

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[tex3]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex3]
sabendo que são reais positivos e que [tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1[/tex3]

G...

Últ. msg

Ittalo25

como são reais positivos dá pra usar a desigualdade de médias

[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2 \cdot r_3\cdot r_4 \cdot r_5}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]

1 \geq...
Hanon2Ittalo251: 2 Resp.; 1298 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
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