Ensino Médio ⇒ Principío Da Indução Finita Tópico resolvido

[jrneliodias]

Prove que [tex3]2^n>n,\,\,\forall n\,\in\,\mathbb{N}[/tex3].

[theblackmamba]

Para [tex3]n=1[/tex3] é válido.
Suponha para [tex3]n=k[/tex3], [tex3]2^k>k[/tex3], [tex3]k\,\,\in\,\,\mathbb{N}[/tex3]

Agora para a sentença ser válida devemos provas para [tex3]n=k+1[/tex3], que [tex3]2^{k+1}>k+1[/tex3]

Multiplicando por 2 em ambos lados, na primeira equação:
[tex3]2^{k+1}>2k[/tex3]

Como [tex3]k\,\,\in\,\,\mathbb{N}[/tex3], [tex3]2k \geq k+1[/tex3], logo a sentença e verdadeira.

[jrneliodias]

Olá Theblackmamba,

Minha dúvida é em relação ao [tex3]0[/tex3], posso inclui-lo na lógica?

[theblackmamba]

De acordo com o PIF (princípio da indução infinita) não pode. Veja:

Se P(n) é uma propriedade descritas termos de números naturais n. Suponha que as afirmações sejam satisfeitas:

[tex3]P(1)[/tex3] é válida.
Se [tex3]P(k)[/tex3] vale então [tex3]P(k+1)[/tex3] também vale.

Nesse caso então [tex3]P(n)[/tex3] é válido para todo [tex3]n\geq 1[/tex3].

[jrneliodias]

Entendo, eu estou estudando esse princípio pelo Fundamentos da Matemática Elementar 1 e ele diz:

"Uma preposição [tex3]P(n)[/tex3], aplicável aos números naturais [tex3]n[/tex3], é verdade para todo [tex3]n\,\in\,\mathbb{N},\,n\geq n_0[/tex3] ..."

Então eu conclui que quando se trata dos [tex3]\mathbb{N},\,\,n_0=0[/tex3] e quando for [tex3]\mathbb{N^*},\,\,n_0=1[/tex3]

O que você acha?

[emanuel9393MOD]

Olá, pessoal!

Eu não concordo com a parte da resolução do nosso amigo Fernando em que:
[tex3]2 k \, \geq \, k \, + \, 1[/tex3]
Como observado por nélio, para o número [tex3]n \, = \, 0[/tex3] essa afirmação não se torna verdadeira. Acredito que é mais apropriado demonstrarmos da seguinte forma:
Temos que provar que:
[tex3]2^{k \, + \, 1} \, > \, k \, + \, 1[/tex3]
No primeiro membro, podemos fazer:
[tex3]2^{k \, + \, 1} \, = \, 2 \cdot 2^{k} \, > \, 2 \cdot \left(k \, + \, 1\right)[/tex3]
Como sabemos, para todo natural:
[tex3]2 \cdot \left(k \, + \, 1\right) \, > \, k \, + \, 1[/tex3]
Logo, podemos afirmar:
[tex3]2^{k \, + \, 1} \, > \, 2 \cdot \left(k \, + \, 1\right) \, > \, k \, + \, 1 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{2^{k \, + \, 1} \, > \, k \, + \, 1}}[/tex3]

Um abraço à todos!