IME / ITA ⇒ (ITA-SP) Equações Polinômiais Tópico resolvido

[holaquetal]

Mostre que:
a) O número real [tex3]\alpha=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+ \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3] é raiz da equação [tex3]x^3+3x-4=0[/tex3]

Eu to com dúvida em como provar. Eu substituí a raiz na equação, porém fiquei meio perdido.

Tem algum jeito de provar mais fácil e rápido? Se possível demonstre a resolução.

[roberto]

fazendo:

[tex3]\alpha ^3=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3[/tex3]

[tex3]\alpha ^3=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\right)^3+\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3+3\cdot\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\,\,\cdot\,\,\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\,\,\cdot\,\,\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt[3]{5}}\right)[/tex3]

[tex3]\rightarrow \alpha ^3=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\,\cdot\,\sqrt[3]{2^2-\left(\sqrt{5}\right)^2}\,\,\cdot\,\,\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha ^3+3\alpha -4=0[/tex3] Isso mostra que [tex3]\alpha[/tex3] é raiz de [tex3]x^3+3x-4=0[/tex3]