Ensino Médio ⇒ Princípio da Indução Finita Tópico resolvido

[jrneliodias]

Demonstre usando o princípioda indução finita que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex3]n[/tex3] lados é [tex3]S_n=(n-2).180^o[/tex3].

[emanuel9393MOD]

Olá, nélio!

Para [tex3]n \, = \, 3[/tex3] (triângulo), a proposição torna-se verdadeira:
[tex3]S_{n} \, = \, \left(3 \, - \, 2\right) \cdot 180^{0} \, = \, 180^{0}[/tex3]
Vamos supor que a proposição seja verdadeira para um polígono com [tex3]l[/tex3] lados:
[tex3]S_{l} \, = \, \left(l \, - \, 2\right) \cdot 180^{0}[/tex3]
Devemos provar que um polígono com [tex3]l \, + \, 1[/tex3] lados tenha [tex3]\left(l \, - \, 1\right) \cdot 180^{0}[/tex3], ou seja, a soma dos ângulos internos de um polígono com [tex3]l[/tex3] lados e [tex3]180^{0}[/tex3]. Para isso, vamos analisar a transição de um triângulo em um quadrilátero:

Questão 58.JPG (6.63 KiB) Exibido 2653 vezes

Pela figura, podemos observar que ao triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] foi acoplado outro triângulo formando um quadrilátero. Para formar um pentágono, o procedimento seria o mesmo, acoplando outro triângulo. Por isso, justifica-se que acrescentando um lado, acrescenta-se [tex3]180^{0}[/tex3] a soma dos seus ângulos internos.

Um abraço!

[jrneliodias]

Muito obrigado, Emanuel!

Abraço.