Ensino Superior ⇒ Demosntração Relaçao de equivalencia Tópico resolvido

[Ivoski]

Nao consegui demonstrar esta questao

considere uma relaçao R, no conjunto dos numeros inteiros dada por aRb se e somente se a - b é par

a) Mostre que esta e uma relacao de equivalencia em Z.

b) Mostre que os numeros 0, 2, 122 e 200 pertencem a uma mesma classe de
equivalencia e que -3, -1, 1 e 123 pertencem a uma mesma classe de equivalencia diferente
da primeira. Quantas classes de equivalencia existem para esta relacao?

c) Determine o conjunto quociente Z/R desta relacao de equivalencia.

[Swiichi]

Olá Ivoski!

Denotarei a relação R em questão por [tex3]\sim[/tex3]. Quando dois elementos NÃO se relacionarem entre sí, denotarei por [tex3]\propto[/tex3].

a)Precisamos mostrar a relação [tex3]\sim[/tex3] é uma relação de equivalência. Toda relação de equivalência satisfaz três propriedades. Mostremo-nas e provemo-nas para a relação [tex3]\sim[/tex3] em questão.

Seja [tex3]\sim[/tex3] uma relação definida no conjunto dos números inteiros([tex3]\mathbb{Z}[/tex3]) como:
[tex3]a\sim b \Leftrightarrow (a-b)[/tex3] é par, ou seja,

[tex3]a\sim b \Leftrightarrow (a-b) = 2n[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3]

i)Propriedade Reflexiva: para qualquer [tex3]a\in \mathbb{Z}[/tex3], [tex3]a\sim a[/tex3].
Demonstração
Pela definição de [tex3]\sim[/tex3], temos que:

[tex3]a \sim a \Leftrightarrow a-a = 2n\\
a \sim a \Leftrightarrow 0 = 2n \Rightarrow n=0[/tex3]

Logo, i é satisfeita.

ii)Propriedade Simétrica: Se [tex3]a\sim b[/tex3], então [tex3]b\sim a[/tex3], para todo [tex3]a,b \in \mathbb{Z}[/tex3].
Demonstração
Da definição de [tex3]\sim[/tex3], temos que:

[tex3]a \sim b \Leftrightarrow (a-b) = 2n(*)[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3]

Queremos mostrar a partir disso que

[tex3](b-a) = 2k[/tex3], para algum [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3]

Multiplicando [tex3](*)[/tex3] por [tex3]-1[/tex3], temos:

[tex3](-1)(a-b) = (-1)2n\\
(b-a) = -2n[/tex3]

Agrupando convenientemente e tomando [tex3]k =-n[/tex3], temos que

[tex3](b-a) = 2(-n) = 2k[/tex3], onde, para algum [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3], a propriedade é válida.

Logo, ii é satisfeita.

iii)Propriedade Transitiva: Se [tex3]a\sim b[/tex3] e [tex3]b \sim c[/tex3], então [tex3]a \sim c[/tex3] para todo [tex3]a,b,c \in \mathbb{Z}[/tex3].
Demonstração
Hipóteses:
[tex3]a \sim b \Leftrightarrow (a-b) = 2n(I)[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3];
[tex3]b \sim c \Leftrightarrow (b-c) = 2k(II)[/tex3], para algum [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3].
De [tex3](I)[/tex3], temos:

[tex3]a-b = 2n\\ b = a-2n(*)[/tex3]

de [tex3](*)[/tex3] em [tex3](II)[/tex3], temos:

[tex3]b-c = 2k\\ (a-2n)-c = 2k\\a-c-2n = 2k\\a-c = 2k+2n\\ a-c = 2(k+n)[/tex3]

Sendo [tex3]m = k+n[/tex3], que claramente pertence aos inteiros, temos que:

[tex3]a-c = 2m[/tex3]

Logo,

[tex3]a\sim c[/tex3]

E está satisfeita iii.
Portanto, [tex3]\sim[/tex3] é uma relação de equivalência.

b)Da definição da relação [tex3]\sim[/tex3], temos que
[tex3]a\sim b \Leftrightarrow (a-b) = 2n[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3].
Seja o conjunto [tex3]C[/tex3] composto pelos seguintes valores:

[tex3]C = \left\{0,2,122,200\right\}[/tex3]

Queremos mostrar que todos os elementos de [tex3]C[/tex3] pertencem à mesma classe de equivalência.
As propriedades vistas e provadas anteriormente nos permitem fazer o seguinte processo: mostremos que todos os números de [tex3]C[/tex3] se relacionam com [tex3]0[/tex3] e, por iii, todos estarão relacionados entre sí e, portanto, pertencem à mesma classe de equivalência.
[tex3]0\sim 0 (i)\\
2\sim 0 \Leftrightarrow 2-0 = 2n_1 \Rightarrow n_1=1\\
122\sim 0 \Leftrightarrow 122-0=2n_2\Rightarrow n_2 = 61\\
200\sim 0 \Leftrightarrow 200-0=2n_3\Rightarrow n_3=100[/tex3]
Como [tex3]n_1,n_2,n_3\in \mathbb{Z}[/tex3], os números [tex3]2, 122, 200[/tex3] se relacionam com zero. Logo, se relacionam entre sí e, portanto, pertencem à mesma classe de equivalência, que estará denotada por [tex3]\overline{P}[/tex3].

Seja o conjunto

[tex3]U = \left\{-3,-1,1,123\right\}[/tex3]

Mostremos que os elementos de [tex3]U[/tex3] estão relacionados entre sí e, portanto, pertencem à uma classe de equivalência que será denotada por [tex3]\overline{I}[/tex3]. Novamente, tomarei um único elemento de [tex3]U[/tex3] fixo, mostrarei que seus elementos se relacionam à esse valor fixo e, portanto, se relacionam entre sí(por iii). Fixarei o elemento [tex3]1\in U[/tex3].
[tex3]1\sim 1 (i)\\
-1\sim 1 \Leftrightarrow (-1)-1 = 2n_1 \Rightarrow n_1=-1\\
-3\sim 1 \Leftrightarrow (-3)-1=2n_2\Rightarrow n_2 = -2\\
123\sim 1 \Leftrightarrow 123-1=2n_3\Rightarrow n_3=61[/tex3]
Como [tex3]n_1,n_2,n_3\in \mathbb{Z}[/tex3], os números [tex3]-3, -1, 123[/tex3] se relacionam com [tex3]1[/tex3]. Logo, se relacionam entre sí.

Agora, será necessário provar uma proposição da teoria de classes de equivalência.
Primeiramente, a notação [tex3]\overline{X}[/tex3] significa todos os elementos y pertencentes ao conjunto trabalhado tais que x e y estão relacionados. Matematicamente:

[tex3]\overline{X} = \left\{y\in \mathbb{Z}\,\,|\,\,x\sim y\right\}[/tex3]

Proposição: Se [tex3]a\propto b[/tex3], então [tex3]\overline{a} \cap \overline{b}=\emptyset[/tex3](conjunto vazio).
Demonstração
Mostrar que

[tex3]a\propto b[/tex3], então [tex3]\overline{a} \cap \overline{b}=\emptyset[/tex3]

é o mesmo que mostrar que

[tex3]\overline{a}\cap \overline{b} \neq \emptyset \Rightarrow a\sim b[/tex3]

Se

[tex3]y\in \overline{a}\cap \overline{b}\Rightarrow y\sim a[/tex3] e [tex3]y\sim b[/tex3]

Pela propriedade transitiva, temos que [tex3]a \sim b[/tex3], logo, está provada a proposição.

Mostrada essa proposição, mostremos que um elemento de [tex3]\overline{P}[/tex3] não se relaciona com um elemento de [tex3]\overline{I}[/tex3] e, portanto, [tex3]\overline{P}\neq\overline{I}[/tex3].
Como [tex3](0-123) = -123[/tex3] e [tex3]-123[/tex3] não pode ser escrito na forma [tex3]2n[/tex3], onde [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3], [tex3]0[/tex3] e [tex3]123[/tex3] não se relacionam e, portanto, [tex3]\overline{P} \cap \overline{I} = \emptyset[/tex3], ou seja, [tex3]\overline{P} \neq \overline{I}[/tex3].

c) Fica claro do item b que só existem dois conjuntos de equivalência determinados por essa relação: [tex3]\overline{P}[/tex3] e [tex3]\overline{I}[/tex3] e são eles que compõem o conjunto quociente. Entretanto, precisamos escrever os conjuntos em questão em uma notação matemática geral para que seja válida a afirmação. As letras que escolhi não foram a toa: [tex3]\overline{P}[/tex3] agrupa todos os números inteiros pares e [tex3]\overline{I}[/tex3] agrupa todos os inteiros ímpares. Precisamos mostrar que todos os números pares estão relacionados entre si e compõem [tex3]\overline{P}[/tex3] e o mesmo para os ímpares e o conjunto [tex3]\overline{I}[/tex3].

Composição do conjunto [tex3]\overline{P}[/tex3]
Mostremos que todos os números [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b[/tex3] estão relacionados entre sí, para quaisquer [tex3]a,b\in \mathbb{Z}[/tex3].

[tex3]2a\sim 2b \Leftrightarrow (2a-2b) = 2n[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3]

Uma propriedade algébrica diz que a soma ou subtração de números pares resulta em um número par. Logo, a prova é desnecessária.

Composição do conjunto [tex3]\overline{I}[/tex3]
Mostremos que todos os números [tex3]2a+1[/tex3] e [tex3]2b+1[/tex3] estão relacionados entre sí, para quaisquer [tex3]a,b\in \mathbb{Z}[/tex3].

[tex3](2a+1)\sim (2b+1) \Leftrightarrow (2a+1)-(2b+1) = 2n[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3]

Desenvolvendo a expressão acima, chegaremos no seguinte:

[tex3](2a-2b) = 2n[/tex3], para algum [tex3]n\in \mathbb{Z}[/tex3]

Novamente, a subtração de números pares é um número par e, portanto, está provado que os números ímpares se relacionam entre sí.

Logo, escreve-se o conjunto quociente da relação [tex3]\sim[/tex3] como

[tex3]\mathbb{Z}/\sim = \left\{\overline{P}, \overline{I}\right\}[/tex3]

Espero ter ajudado, desculpe o exercício ter ficado tão longo, é que provas matemáticas não costumam ser muito curtas, ainda mais tantas num mesmo problema.
Abraço!