Ensino Médio ⇒ Retas Concorrentes Tópico resolvido

[phanie]

Determinar a projeçao perpendicular do ponto [tex3]P ( 2,\ 3 )[/tex3] sobre a reta [tex3]3x-6y+5 = 0[/tex3] :

Resposta

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resposta : (37\15 , 31\15)

[theblackmamba]

Olá phanie,

Projeção ortogonal de um ponto em relação a uma reta nada mais é que descobrir o ponto de intersecção entre duas retas perpendiculares, do qual uma delas passa por o ponto citado inicialmente.
Chame de [tex3]r[/tex3] a reta que temos e [tex3]s[/tex3] a reta perpendicular.

[tex3]6y=3x+5[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{6}\,\,\Longrightarrow \,\,m_r=\frac{1}{2}[/tex3]

Como as retas retas são perpendiculares,
[tex3]m_r\cdot m_s=-1[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}\cdot m_s=-1\,\,\Longrightarrow \,\,m_s=-2[/tex3].

[tex3](s):\,\,\,\,y=-2x+b[/tex3]

Como esta reta passa pelo ponto P podemos substituir suas coordenadas na reta:
[tex3]3=-2\cdot 2+b\Rightarrow b=7[/tex3]

Logo,
[tex3](s):\,\,\,y=-2x+7[/tex3]

Como as retas se encontram podemos igualá-las:
[tex3]6\cdot (-2x+7)=3x+5[/tex3]
[tex3]-12x+42=3x+5[/tex3]
[tex3]x=\frac{37}{15}[/tex3]

[tex3]y=-2\cdot \frac{37}{15}+7[/tex3]
[tex3]y=\frac{31}{15}[/tex3]

Resposta: [tex3]\boxed{\left(\frac{37}{15},\,\frac{31}{15}\right)}[/tex3]

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