IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Leandro]

Essa de 74 tá um sacrifício...

Um cone equilátero está inscrito em uma esfera de raio 4 cm. Cortam-se os sólidos (esfera e cone) por um plano paralelo à base, de modo que a diferença entre as áreas das secções seja igual à área da base do cone. O raio da secção do cone é:

a) [tex3]2\sqrt{3}\,cm[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{3}\,cm[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}\,cm[/tex3]
d) [tex3]\frac{4\sqrt{3}}{3}\,cm[/tex3]
e) n.d.a.

E pra piorar não encontro o gabarito dessa prova.

[adrianotavares]

Olá,Leandro.

(ITA- 1974)Geometria Espacial 2.png (5.76 KiB) Exibido 2459 vezes

[tex3]r[/tex3]--> raio do cone [tex3]PQS[/tex3]

[tex3]x[/tex3]--> raio do cone [tex3]PCD[/tex3]

[tex3]R[/tex3]--> raio do círculo [tex3]TA[/tex3]

Para resolver esse exercício vamos considerar dois casos;

1º--> O plano corta a esfera passando pelo seu centro

2º --> O plano corta a esfera a uma distância [tex3]d[/tex3] do seu centro.

Vamos analisar o 1º caso.

O plano passando pelo centro da esfera formará uma coroa circular , cuja área é igual a área da base do cone.Podemos imaginar o cone como se fosse um triângulo equilátero inscrito numa circunferência.Dessa maneira podemos escrever:

[tex3]2x=4\sqrt{3} \Rightarrow x=2\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\pi(4^2-r^2)=\pi(2\sqrt{3})^2 \Rightarrow r=2cm[/tex3]

Nesse caso a alternativa certa seria a letra E.

Vamos agora considerar o 2º caso

A altura do cone [tex3]PCD[/tex3] é dada por:

[tex3]H=\frac{l\sqrt{3}}{2} \Rightarrow H=\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{2} \Rightarrow H=6cm[/tex3]

[tex3]OP=\frac{2H}{3} \Rightarrow OP=\frac{2.6}{3} \Rightarrow OP=4cm[/tex3]

Note que o cone [tex3]PQS[/tex3] é também equilátero.

A altura do cone [tex3]PQS[/tex3] é dada por;

[tex3]h=\frac{2r\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h=r\sqrt{3}[/tex3]

De acordo com o enunciado podemos escrever:

[tex3]\pi(R^2-r^2)=12\pi \Rightarrow R^2-r^2=12[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]EO=4-r\sqrt{3}[/tex3]

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo [tex3]EOA[/tex3] teremos:

[tex3](4-r\sqrt{3})^2+R^2=16[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Resolvendo esse sistema encontraremos [tex3]r=\sqrt{3} cm[/tex3]

Alternativa: b

[Leandro]

Valeu Tavares