IME / ITA ⇒ (ITA - 1976) Complexos Tópico resolvido

[Leandro]

As raízes de ordem 4 do número [tex3]z = e^{\frac{\pi i}{2}}[/tex3], onde i é a unidade imaginária, são:
a)[tex3]z_k = cos\theta _k +isen\theta _k, \,\,\,onde\,\,\, \theta _k = \frac{1 + 4k}{8}\pi, \,\,\,com \,\,\,k = 0, 1, 2, 3.[/tex3]
b)[tex3]z_k = e^{i\theta}k,\,\,\, onde\,\,\, \theta _k = \frac{1 + 3k}{8}\pi, \,\,\,com\,\,\, k = 0, 1, 2, 3.[/tex3]
c)[tex3]z_k = e^{i\theta}k, \,\,\,onde\,\,\, \theta _k = 4k\pi, \,\,\,com\,\,\, k = 0, 1, 2, 3.[/tex3]
d)[tex3]z_k = e^{i\theta}k, \,\,\,onde\,\,\, \theta _k = \frac{1 - 4k}{8}\pi,\,\,\, com\,\,\, k = 0, 1, 2, 3.[/tex3]
e) [tex3]nda[/tex3]

Resposta

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Gabarito: A

[fabit]

Como z fica no círculo unitário centrado em 0, facilita não ter que controlar o módulo, pois fica tudo em 1.

Os complexos procurados são os vértices de um quadrado inscrito no tal círculo unitário. Portanto, basta achar aquele que fica no primeiro quadrante e ir somando ângulos retos para pular para os demais vértices.

Vamos a ele [tex3]z_1=\[\mathrm{e}^{\frac{i\pi}{2}}\]^{\frac{1}{4}}=\mathrm{e}^{\frac{i\pi}{8}}[/tex3]

Somar múltiplos de [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] a esse argumento é colocar [tex3]k\times\frac{\pi}{2}=\frac{4k\pi}{8}[/tex3] pra juntar com denominadores igualados.

[tex3]z_k=\mathrm{e}^{\frac{i\pi(4k+1)}{8}}[/tex3]

A alternativa que equivale a isso é a A com o mesmo valor de k que eu propus. Mas parece-me que a D também serve só que percorre o círculo no sentido horário, ou seja, o k que eu usei seria o -k da prova.

[Leandro]

Muito obrigado pela resposta, fabit.

Gostaria que me esclarecesse duas coisas, por gentileza:

Dizer que z fica sobre o círculo unitário seria o mesmo que dizer que seu módulo é 1, não é? Se for, como saber disso?

Por que a rotação dos afixos para encontrar os outros 3 dos vértices do quadrado é feita somando o valor ao expoente do número?

Abraço.

[fabit]

Pois não. Vejamos suas dúvidas:

1)

Dizer que z fica sobre o círculo unitário seria o mesmo que dizer que seu módulo é 1, não é?

Resposta: É exatamente isso.

2)

Se for, como saber disso?

Resposta: Em coordenadas cartesianas (retangulares), [tex3]x^2+y^2=1^2[/tex3], ou seja, a soma dos quadrados das partes real e imaginária tem que dar 1. Quando z está escrito como [tex3]\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta[/tex3], por exemplo, fica fácil porque sabemos que [tex3]\sin^2\theta+\cos^2\theta=1[/tex3]. E quando z está expresso em coordenadas polares, [tex3]z(\rho,\theta)=\rho\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}[/tex3], você precisa saber que essa expressão é exatamente [tex3]\rho\mathrm{cis}\theta=\rho(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)[/tex3], onde [tex3]|z|=\rho[/tex3].

3)

Por que a rotação dos afixos para encontrar os outros 3 dos vértices do quadrado é feita somando o valor ao expoente do número?

Resposta: Não é bem ao expoente que se soma. Tem que botar o [tex3]\mathrm{i}[/tex3] em evidência. Aí, como o que sobra após colocar em evidência é o ângulo, fica [tex3]z_1=\rho\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_1}\Rightarrow z_2=\rho\mathrm{e}^{\mathrm{i}\(\theta_1+\frac{\pi}{2}\)}[/tex3]

Beleza?

[Henricj0]

É só lembrar que [tex3]e^{\pi i}[/tex3]=-1 e seguir por ai