Olimpíadas ⇒ (OBM - 2004) Teoria dos Números Tópico resolvido

[rean]

Dizemos que um número natural é composto quando pode ser escrito como produto de dois números naturais maiores que [tex3]1,[/tex3] assim por exemplo [tex3]91[/tex3] é composto podemos escrevê-lo [tex3]91=7\times 13[/tex3].
Mostre que o número [tex3]2^{(2^{2004}+2)}+1[/tex3] é composto.

[triplebig]

[tex3]2^{2004}[/tex3] Vai dar um número divisível por 4 que termina em 6. Adicionando 2, vai dar um número que termina em 8 que não é divisível por 4.

Ai 2 elevado a um número que é par mas não divisível por 4 termina em 4.

Esse numero somado com um vai resultar em um numero divisivel por 5.

Abraços

[John]

Note que [tex3]4 \equiv -1 (mod 5)[/tex3], daí [tex3]4^{(2^{2003} +1)} \equiv -1 (mod 5)[/tex3] pois [tex3]2^{2003} + 1[/tex3] é ímpar. Como [tex3]4^{(2^{2003} +1)} = 2^{(2^{2004} + 2)}[/tex3], obtemos:

[tex3]2^{(2^{2004} +2)} \equiv -1 (mod 5)[/tex3].

Portanto, [tex3]2^{(2^{2004} +2)}+1[/tex3] é divisível por [tex3]5[/tex3]. Conclusão, [tex3]2^{(2^{2004} +2)}+1[/tex3] é um número composto.