Olimpíadas ⇒ (IMO Training - 2004) Produtos e Radicais Duplos Tópico resolvido

[theblackmamba]

Sejam [tex3]a,b,c,d[/tex3] números reais distintos satisfazendo as equações:

[tex3]\begin{cases}a=\sqrt{45-\sqrt{21-a}}\\b=\sqrt{45-\sqrt{21-b}}\\c=\sqrt{45-\sqrt{21-c}}\\ d=\sqrt{45-\sqrt{21-d}}\end{cases}[/tex3]

Prove que [tex3]abcd=2004[/tex3].

[theblackmamba]

Sendo:

[tex3]x=\sqrt{45-\sqrt{21-x}}[/tex3]
[tex3]x^2=45-\sqrt{21-x}[/tex3]
[tex3](x^2-45)^2=21-x[/tex3]
[tex3]x^4-2\cdot x^2 \cdot 45+45^2=21-x[/tex3]
[tex3]x^4-90x^2+x+2004=0[/tex3]

Esta é uma equação de 4º grau com raízes [tex3]a,b,c,d[/tex3].

Pelas Relações de Girard,
[tex3]\boxed{abcd=2004}[/tex3]. [tex3]\text{CQD.}[/tex3]