Ensino Médio ⇒ (Aref) Função Quadrática Tópico resolvido

[marceloh]

Considere a função quadratica definida por: [tex3]f(x)= (x-p)(x-q) + (x-q)(x-r) + (x-r)(x-p)[/tex3] com [tex3]p<q<r[/tex3]. Deduza, sem formar o discriminante, que a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] admite duas raízes reais distintas. Compare os números [tex3]p[/tex3], [tex3]q[/tex3] e [tex3]r[/tex3] com as raízes da equação.

[jrneliodias]

Olá marceloh,

Primeramente, vamos simplificar a função. Temos que:
[tex3]f(x)=(x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p)\,\,\Rightarrow\,\,[/tex3]
[tex3][x^2-(p+q)x+pq]+[x^2-(q+r)x+qr]+[x^2-(p+r)x+pr]\,\,\Rightarrow[/tex3]
[tex3]3x^2-(p+q+q+r+p+r)x+pq+qr+pr\,\,\Rightarrow\,\,3x^2-2(p+q+r)x+(pq+qr+pr)[/tex3]

Admitindo que [tex3]f(x)=0[/tex3], ou seja, [tex3]3x^2-2(p+q+r)x+(pq+qr+pr)=0[/tex3] possua como raízes [tex3]\alpha_1\,\,e\,\,\alpha_2[/tex3], reais e distintas. Então:

[tex3]\boxed{\begin{cases}\alpha_1+\alpha_2=\frac{2(p+q+r)}{3}\\\alpha_1\cdot\alpha_2=\frac{pq+qr+pr}{3}\end{cases}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[estudante9]

Preciso que provem que a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] admite duas raízes reais distintas sem usar discriminante e acho que a resposta do jrneliodias não atende ao pedido do enunciado, pois no gabarito do Aref a resposta é [tex3]p<x_1<q<x_2<r[/tex3]. Obrigado.

[cajuADMIN]

Olá estudante9,

Realmente, a resposta do jrneliodias encontrou a soma e o produto das raízes e não concluiu que possui 2 raízes reais distintas.

Vamos pegar a função dada [tex3]f(x)= (x-p)(x-q) + (x-q)(x-r) + (x-r)(x-p)[/tex3] e substituir o valor de [tex3]x[/tex3] por [tex3]p[/tex3], [tex3]q[/tex3] e [tex3]r[/tex3] para descobrir o valor de [tex3]f(x)[/tex3] para cada um desses valores de [tex3]x[/tex3]:

---

1) [tex3]x=p\Rightarrow \boxed{f(p)=(p-q)(p-r)}[/tex3]

Como [tex3]p<q[/tex3], temos que [tex3]p-q<0[/tex3], ou seja, [tex3]p-q[/tex3] é negativo.
Como [tex3]p<r[/tex3], temos que [tex3]p-r<0[/tex3], ou seja, [tex3]p-r[/tex3] é negativo.

Portanto, o produto [tex3]f(p)=(p-q)(p-r)[/tex3] é o produto de um número negativo por um negativo, resultando um número positivo.

Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(p)>0}}[/tex3]

---

2) [tex3]x=q\Rightarrow \boxed{f(q)=(q-r)(q-p)}[/tex3]

Como [tex3]q<r[/tex3], temos que [tex3]q-r<0[/tex3], ou seja, [tex3]q-r[/tex3] é negativo.
Como [tex3]p<q[/tex3], temos que [tex3]q-p>0[/tex3], ou seja, [tex3]q-p[/tex3] é positivo.

Portanto, o produto [tex3]f(q)=(q-r)(q-p)[/tex3] é o produto de um número negativo por um positivo, resultando um número negativo.

Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(q)<0}}[/tex3]

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3) [tex3]x=r\Rightarrow \boxed{f(r)=(r-p)(r-q)}[/tex3]

Como [tex3]p<r[/tex3], temos que [tex3]r-p>0[/tex3], ou seja, [tex3]r-p[/tex3] é positivo.
Como [tex3]q<r[/tex3], temos que [tex3]r-q>0[/tex3], ou seja, [tex3]r-q[/tex3] é positivo.

Portanto, o produto [tex3]f(r)=(r-p)(r-q)[/tex3] é o produto de um número positivo por um positivo, resultando um número positivo.

Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{f(r)>0}}[/tex3]

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Com esses três raciocínios, podemos concluir que a parábola é mais ou menos assim:

bolzano.png (5.64 KiB) Exibido 849 vezes

Quando [tex3]x=p[/tex3] a parábola terá um valor positivo, depois quando [tex3]x=q[/tex3] tem que ter um valor negativo.
Essa troca de sinal garante que, entre [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3], terá uma raiz, pois a parábola é obrigada a cortar o eixo [tex3]x[/tex3] entre [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3]. Essa é a primeira raiz real de [tex3]f(x)[/tex3].

E quando o [tex3]x[/tex3] varia de [tex3]q[/tex3] até [tex3]r[/tex3], a parábola também será obrigada a cortar o eixo [tex3]x[/tex3]. Essa será a segunda raiz real de [tex3]f(x)[/tex3], que é distinta da primeira.

Esse raciocínio nada mais é do que o Teorema de Bolzano, que poderíamos escrever, mais sucintamente, da seguinte forma:

[tex3](p < q) \wedge (f(p)\cdot f(q)<0)\rightarrow \exists x_1\in(p, q)\,|\,f(x_1)=0[/tex3]

[tex3](q < r) \wedge (f(q)\cdot f(r)<0)\rightarrow \exists x_2\in(q, r)\,|\,f(x_2)=0[/tex3]

E isso bate com o seu gabarito, pois a raiz [tex3]x_1[/tex3] está entre [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] e a raiz [tex3]x_2[/tex3] está entre [tex3]q[/tex3] e [tex3]r[/tex3], ou seja, [tex3]p<x_1<q<x_2<r[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[petrasMOD]

caju,

Apesar de não alterar a solução em

1) [tex3]x=p\Rightarrow \boxed{f(p)=(p-q)(p-r)}[/tex3]
...
Como q < r, temos que q - r < 0, ou seja, é negativo (não seria aqui p < r, temos p - r < 0)