IME / ITA ⇒ (ITA - 2011) Matrizes e Determinantes Tópico resolvido

[Leandro]

Tenho duas perguntas sobre a seguinte questão:

Considere as afirmações abaixo:

I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que M.N é matriz nula.

II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que [tex3]det (M^2 - M) = 0[/tex3], então existe matriz não nula X, de ordem n x 1, tal que MX = X.

III) A matriz [tex3]\det \begin{pmatrix} cos\theta & -sen\theta\\ \frac{tg\theta}{sec\theta} & 1 -2sen^2\frac{\theta}{2}\end{pmatrix}[/tex3] é inversível, [tex3]\forall \,\, \theta \neq \frac{\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbb{Z}[/tex3].

Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas II e III.
e) todas.

Resposta

---

Gabarito: E

1 - Na resolução que eu vi, para a assertiva II, do fato de que [tex3]det (M^2 - M) = 0[/tex3], se tira que det (M – I) = 0. Depois, de M . X = X se tira que (M – I) . X = 0. Até aqui tudo bem. Agora vem minha dúvida - não entendo o seguinte: "Assim, X é solução de um sistema linear homogêneo possível e indeterminado, pois det (M – I) = 0. Como esse sistema admite solução não trivial, existe a matriz X não nula". De outra forma, minha dúvida é: como concluir, do exposto, que X é solução de um sistema linear homogêneo possível e indeterminado?
2 - Gostaria da demonstração da identidade: [tex3]1 -2sen^2 \frac{\theta}{2} = cos \theta[/tex3]

[fabit]

Para a demonstração da identidade trigonométrica, sugiro seguir os passos abaixo:
1) Desenhe um triângulo com dois lados medindo 1 unidade compreendendo um ângulo theta.
2) Trace a bissetriz de theta, que é também altura e mediana relativa ao lado oposto, pois o triângulo é isósceles.
3) Essa ceviana dividirá o isósceles em dois triângulos retângulos com ângulo "theta/2" e cateto oposto [tex3]\sin\frac{\theta}{2}[/tex3]
4) Portanto, o lado oposto a theta no isósceles mede [tex3]2\sin\frac{\theta}{2}[/tex3].
5) Compare isso com o que se obtém escrevendo a lei dos cossenos [tex3](2\sin\frac{\theta}{2})^2=1^2+1^2-2.1.1.\cos\theta[/tex3]
6) Isole o cosseno.

Qualquer coisa, grite.

[Leandro]

Não se preocupa: não vou precisar gastar minhas cordas vocais dessa vez. Obrigado pela demonstração

E encontrei a resposta pra outra pergunta:

Da assertiva II:

[tex3]det (M^2 - M) = 0 \longrightarrow det[M(M - I)] = 0 \longrightarrow por\, Binet\,\,\, temos: \\ det(M)det(M - I) = 0[/tex3], mas M é inversível, ou seja: [tex3]det(M) \neq 0[/tex3], então temos que: [tex3]det(M - I) = 0[/tex3]

Ainda, da assertiva II: [tex3]MX = X \longrightarrow X(M - I) = 0[/tex3].

X é matriz não nula. Este tipo de multiplicação matricial equivale a um sistema homogêneo (tudo igual a zero), e um sistema homogêneo pode ser apenas determinado ou indeterminado. Como M - I é a matriz principal (matriz dos coeficientes do sistema), e seu determinante, como visto, é igual a zero, o sistema não pode ser determinado, sobrando apenas a possibilidade de ser um sistema homogêneo possível e indeterminado. De tal forma, existem infinitas matrizes X não nulas que satisfazem a igualdade. verdadeira