IME / ITA ⇒ Análise Combinatória e Poliedros de Platão (2) Tópico resolvido

[Projenitor]

Quantas diagonais possui:

a) um octaedro regular?
b) um cubo?
c) um icosaedro regular?

Respostas:

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a) 3
b) 4
c) 36

[Bruno Fraga]

O icosaedro é um poliedro formado 20 faces triangulares. Seu número de arestas é [tex3]\frac{20 \times 3}{2} = 30.[/tex3] Pela relação de Euler [tex3]V - A + F = 2,[/tex3] temos que o número de vértices é [tex3]12.[/tex3]
Cada diagonal do icosaedro é formada pela escolha de dois dos seus vértices. Haveria então [tex3]C_{12,2} = 66[/tex3] escolhas possíveis. Porém, nessas escolhas há casos de dois vértices na mesma face, que formam na verdade uma aresta do icosaedro e não uma diagonal do mesmo. Assim, das [tex3]66[/tex3] segmentos obtidos, retiramos as [tex3]30[/tex3] arestas que estão sendo contadas aqui, e sobram [tex3]36[/tex3] diagonais do icosaedro.
Bruno Fraga