Ensino Superior ⇒ (Transf-USP-2013) Sólido Tópico resolvido

[poti]

Dentre os cilindros circulares retos inscritos numa esfera de raio 1, seja h1 a altura daquele que tem volume máximo e seja h2 a altura daquele que tem superfície lateral máxima.

Então, h1/h2 é:

a) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}[/tex3]
b) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

[miguel747]

Fiz duas vezes e deu uma resposta diferente. Não sei onde eu errei. De qualquer forma segue:

Vínculo:

[tex3]r^2 + h^2 = 1[/tex3]

Em cada situação, temos a mesma igualdade em relação a altura do cilindro:

[tex3]\begin{cases}h_1 = 2h\\\text{ou}\\h_2 = 2h\end{cases}[/tex3]

cilindro.jpg (46.18 KiB) Exibido 1488 vezes

Caso 1: Volume máximo

[tex3]V = \pi.r^2.h_1\Rightarrow V = \pi (1-h^2).2h\,\,\left(\frac{d}{dh}\right)\Rightarrow 2\pi \frac{d}{dh}(h-h^3) = 0\\
\\
1-3h^2 = 0\Rightarrow h^2 = \frac{1}{3}\Rightarrow h = \sqrt{3}/3[/tex3].
Então [tex3]\boxed{h_1 = 2\sqrt{3}/3}[/tex3]

Caso 2: Área Superficial Máxima

cilindro.jpg (10.48 KiB) Exibido 1488 vezes

[tex3]A = 2\pi . R. h_2\Rightarrow A = 2\pi.(1-h^2)^{1/2}.2h\,\,\left(\frac{d}{dh}\right)\\
\\
4\pi\left[1/2.(1-h^2)^{-1/2}.(-2h).h + (1-h^2)^{1/2}.1\right] = 0\\
\frac{-h^2}{(1-h^2)^{1/2}}+(1-h^2)^{1/2} = 0
\\
\\
-h^2+(1-h^2) = 0\Rightarrow 2h^2 = 1\Rightarrow h^2 = 1/2\Rightarrow h = \sqrt{2}/2[/tex3]
Então: [tex3]\boxed{h_2 = \sqrt{2}}[/tex3]

Logo [tex3]h1/h2 = \frac{2\sqrt{3}/3}{\sqrt{2}} = \boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}}[/tex3]

Gostaria que alguém tentasse pra notar onde eu errei.

Abs,

[Swiichi]

Que ironia, você não errou miguel! Sua resposta é uma das alternativas. Sofri muito pra conseguir enxergar. Note que:

[tex3]h_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}\\h_2 = \sqrt{2}[/tex3]

Elevemos ambos ao quadrado:

[tex3]h_1^2 = \frac{4}{3}\\h_2^2 = 2[/tex3]

Façamos o quociente dos quadrados:

[tex3]\frac{h_1^2}{h_2^2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3}.\frac{1}{2} = \frac{2}{3}[/tex3]

Tiremos agora a raíz:

[tex3]\frac{h_1}{h_2}= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/tex3]

Que é a alternativa c. Agora, por manejos matemáticos, multipliquemos os membros inferior e superior por [tex3]\sqrt{3}[/tex3]:

[tex3]\frac{h_1}{h_2}= \frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3].

Espero que tenha ficado claro.
Abraço pessoal!

[miguel747]

Sensacional! Que coisa hein fazer todo o trabalho pra ficar olhando as alternativas...hehehehe ironico mesmo!

Abs.