Ensino Superior ⇒ (Transf-USP-2013) Área Tópico resolvido

[poti]

A região delimitada pelos gráficos de [tex3]f(x) = x^{1/n}[/tex3] e [tex3]g(x) = x^n[/tex3], para algum [tex3]n \geq 1[/tex3], tem área [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]. Então, [tex3]n[/tex3] vale:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

[Swiichi]

Nossa, achei ótima a questão! Muito intrigante.

Primeiro, vamos às considerações:
1) Precisamos das intersecções entre os gráficos de f e g. Por lógica (também gostaria de uma prova matemática disso), f e g irão se cruzar na origem (pois 0 elevado a qualquer coisa que não seja infinita é zero) e no ponto x = 1 (pelo mesmo motivo de zero). Além disso, não tomemos valores negativos para x pois, para f com valores de n par, teríamos problemas de domínio envolvidos.

2) Precisamos saber quem se encontra superiormente a quem no intervalo [0,1] considerado. Também por lógica, cremos que f será sempre superior a g, qualquer que seja n.

Com esses dados, sabemos que o valor da seguinte integral é 2/3:

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\left[x^{\frac{1}{n}}-x^n\right]dx= \frac{2}{3}[/tex3]

Resolvendo essa integral, encontramos n=5 (se tiver problemas na integração, avise que eu resolvo, é que to um pouco sem tempo).

Usando n=5 na mesma integral, verificamos a igualdade e, portanto, a resposta d) 5 é a correta.

Abraço!