IME / ITA ⇒ (ITA - 1986) Matrizes e Determinantes

[Leandro]

Tenho uma dúvida a respeito da seguinte questão:

Dizemos que duas matrizes reais, 2x1, A e B quaisquer são linearmente dependentes se e somente se existem dois números reais x e y não ambos nulos tais que xA + yB = 0, onde 0 é a matriz nula 2 x 1.

Se A = [tex3]\begin{pmatrix}1\\K^n - 1\end{pmatrix}[/tex3] , B = [tex3]\begin{pmatrix}K^{-n} + 1\\2\end{pmatrix}[/tex3]

onde [tex3]K\,\,\in\,\,\mathbb{R}^{*}[/tex3] e [tex3]n\in\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/tex3]
podemos afirmar que, para cada [tex3]K\,\,\in\,\,\mathbb{R}^{*}[/tex3],
a) A e B são linearmente dependentes, [tex3]\forall K \in \mathbb{R}^*[/tex3]
b) existe um único [tex3]K \in \mathbb{R}^*[/tex3] tal que A e B não são linearmente dependentes.
c) existe um único [tex3]K \in \mathbb{R}^*[/tex3] tal que A e B são linearmente dependentes.
d) existem apenas dois valores de [tex3]K \in \mathbb{R}^*[/tex3] tais que A e B são linearmente dependentes.
e) não existe valor de [tex3]K \in \mathbb{R}^*[/tex3] tal que A e B sejam linearmente dependentes.

Resposta

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Gabarito: D

A dúvida é: tendo em vista as duas expressões pra K em função de n que se encontra, o gabarito não deveria ser C? Veja bem: para um n par, uma das opções pra K seria uma raiz de índice par de radicando negativo, carcterizando um complexo. Mas K é real, segundo o enunciado, de forma que esta opção de radicando negativo deveria ser desconsiderada. Não seria mais adequada a opção C como resposta?

[Leandro]

Me desculpem, cometi um erro de dígito no final do enunciado.

Onde está escrito: "podemos afirmar que, para cada [tex3]K\,\,\in\,\,\mathbb{R}^{*}[/tex3]"

Deveria estar escrito: "podemos afirmar que, para cada [tex3]n\,\,\in\,\,\mathbb{N}[/tex3]"