Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Geometria Plana: Área de um Quadrilátero

[rean]

• AE15.png

Na figura,[tex3]A\widehat{B}C=90^\circ,[/tex3] [tex3]ADC[/tex3] é um triângulo isósceles e [tex3]E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são pontos médios dos lados [tex3]AD[/tex3] e [tex3]CD,[/tex3] respectivamente. Se [tex3]\overline{AC}=12,[/tex3] a área do polígono [tex3]AEFC[/tex3] é:

a) [tex3]124[/tex3]
b) [tex3]27[/tex3]
c) [tex3]36[/tex3]
d) [tex3]48[/tex3]
e) [tex3]154[/tex3]

[Bruno Fraga]

Como o ângulo [tex3]B[/tex3] é reto, então o segmento [tex3]AC[/tex3] que ele enxerga é um diâmetro da circunferência. Se [tex3]AC[/tex3] é um diâmetro, então o ângulo [tex3]D[/tex3] também é reto. Como o triângulo [tex3]ADC[/tex3] é isósceles e retângulo, então [tex3]\overline{AD} = \overline{DC} =6\sqrt{2}.[/tex3] E portanto, [tex3]\overline{DE} = \overline{DF} =3\sqrt{2}.[/tex3] Podemos calcular a área azul (vou chamar de [tex3]S)[/tex3] pela diferença entre as áreas dos triângulos [tex3]ADC[/tex3] e [tex3]DEF.[/tex3] Como ambos são triângulos retângulos fica:

• [tex3]S = \frac{6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{2} =27.[/tex3]

Bruno Fraga.